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#1 30-10-2020 10:38:59

jiangzeminnarienfaitdemal
Membre
Inscription : 26-09-2020
Messages : 7

$\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$

Bonjour,

Je suis en LDD1 Info-Math, et je dois déterminer $N$ tel que $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$.

Je simplifie le côté gauche par $n$ pour obtenir $\frac{n+\ln{n}}{n^2}$ et je veux avoir une inéquation avec $0$ à l'autre côté donc $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}-\frac{1}{2}>0\Leftrightarrow\frac{-n^2+2n+2\ln{n}}{2n^2}>0$. Je supprime les $\text{ln}$ (elle est strictement croissante) : $\frac{n\cdot e^{-n^2+2n}}{e^{n^2}}>0$. Maintenant il faut montrer qu'il existe $n\in N^{*}$ tel que $n\cdot e^{-n^2+2n}>0$ pour tout $n\geq N$ et là je suis bloqué.

Merci d'avance pour vos conseils

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#2 30-10-2020 11:55:14

Romaiys
Membre
Inscription : 16-12-2019
Messages : 16

Re : $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$

Attention ! La strict croissance de la fonction logarithme népérien ne justifie pas du tout ton équivalence ! (Elle n'est pas définie en 0 déjà... et sauf erreur de ma part, je ne crois pas que les simplification soient justes....).
A ce stade, regarde pour écrire un algorithme (en python Licence Maths-Info ?) faisant le boulot en considérant une suite... ou un raisonnement par tâtonnement.

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#3 30-10-2020 16:27:40

cortexlespyramides
Invité

Re : $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$

T'es sûr que t'es pas en train de chercher midi à quatorze heure ici ?

#4 30-10-2020 19:13:37

jiangzeminnarienfaitdemal
Membre
Inscription : 26-09-2020
Messages : 7

Re : $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$

Romaiys a écrit :

Attention ! La strict croissance de la fonction logarithme népérien ne justifie pas du tout ton équivalence ! (Elle n'est pas définie en 0 déjà... et sauf erreur de ma part, je ne crois pas que les simplification soient justes....).
A ce stade, regarde pour écrire un algorithme (en python Licence Maths-Info ?) faisant le boulot en considérant une suite... ou un raisonnement par tâtonnement.

Je suis certain qu'il ne faut pas utiliser les algorithmes pour l'instant.

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#5 30-10-2020 19:18:04

jiangzeminnarienfaitdemal
Membre
Inscription : 26-09-2020
Messages : 7

Re : $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$

cortexlespyramides a écrit :

T'es sûr que t'es pas en train de chercher midi à quatorze heure ici ?

Oui, je complique trop la démonstration.

En fait la suite $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}$ est supérieur à $\frac{1}{2}$ dans une intervalle donc $N$, avec cette propriété, n'existe pas donc trouver un $n$ tel que $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ ne suffit pas. C'est ca qui me gène

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#6 30-10-2020 19:26:09

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 172

Re : $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$

Bonjour !

À vrai dire, tu risques d'y passer un bon temps. La quantité que tu proposes tend vers 0 en $+ \infty$, donc trouver un tel $N$ est tout simplement impossible.

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#7 30-10-2020 20:01:23

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 225

Re : $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$

B'soir,

Suite à la remarque de valoukanga j'ai testé la question :

Maintenant il faut montrer qu'il existe $n\in N^{*}$ tel que $n\cdot e^{-n^2+2n}>0$ pour tout $n\geq N$ et là je suis bloqué

avec Python...
Réponse :


for n in range(1,13):
    print ("n =",n,"   ","n*exp(-n^2+2n) =",n*exp(-n**2+2*n ))

n = 1      n*exp(-n^2+2n) = 2.718281828459045
n = 2      n*exp(-n^2+2n) = 2.0
n = 3      n*exp(-n^2+2n) = 0.14936120510359183
n = 4      n*exp(-n^2+2n) = 0.0013418505116100474
n = 5      n*exp(-n^2+2n) = 1.529511602509129e-06
n = 6      n*exp(-n^2+2n) = 2.2650807265674586e-10
n = 7      n*exp(-n^2+2n) = 4.4135817321028925e-15
n = 8      n*exp(-n^2+2n) = 1.1401312661927481e-20
n = 9      n*exp(-n^2+2n) = 3.9236490000567726e-27
n = 10     n*exp(-n^2+2n) = 1.8048513878454152e-34
n = 11     n*exp(-n^2+2n) = 1.1123436418714934e-42
n = 12     n*exp(-n^2+2n) = 9.2011776884664e-52

Conclusion ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#8 31-10-2020 00:00:55

cortexlespyramides
Invité

Re : $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$

valoukanga a écrit :

Bonjour !

À vrai dire, tu risques d'y passer un bon temps. La quantité que tu proposes tend vers 0 en $+ \infty$, donc trouver un tel $N$ est tout simplement impossible.

C'est ce que je disais, tu cherches midi là où il n'est pas :D

#9 06-11-2020 10:06:42

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 198

Re : $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$

Bonjour,

Par une étude simple des variations d'une fonction ...

Il est facile de démontrer que (n²+n.ln(n))/n³ > 1/2 uniquement pour n dans [1 ; 2]

On ne peut donc pas trouver un N tel que n >= N tel que n²+n.ln(n))/n³ > 1/2

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