Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 30-10-2020 16:43:47

aroufgangsta
Invité

Matrices non semblables

Bonjour à tous,

J'essaye de trouver deux matrices qui possèdent :

  • le même rang

  • le même polynôme caractéristique

  • le même polynôme minimal

mais qui ne soient pas, pour autant, semblables.

En notant Jk(0) la matrice de Jordan de taille k avec des 0 sur la diagonale et des 1 juste au-dessus (qui sont les invariants de similitude les plus "faciles" à manipuler), je réussis à construire deux matrices de taille 7 qui vérifient ce que je cherche :

  • la matrice M diagonale par blocs avec J3(0), J2(0) et J2(0) sur la diagonale ;

  • la matrice N diagonale par blocs avec J3(0), J3(0) et J1(0) sur la diagonale.

Ma question est la suivante : est-il possible de trouver d'autres matrices qui vérifieraient ceci, mais qui seraient de taille plus petites ? La réponse me paraît bien évidemment être oui (ça se saurait si l'on pouvait caractériser aussi simplement les classes de similitude des matrices de taille 6 et moins !), mais je n'arrive pas à trouver d'autres exemples.

Merci à vous,
AG

#2 02-11-2020 15:41:06

aroufgangsta
Invité

Re : Matrices non semblables

Ok, j'ai trouvé la réponse à ma question ici.
Il suffit de prendre les matrices par blocs M=J2(1)|J2(1) et N=I2|J2(1).

Cela dit, je pense que même rang + même polynôme caractéristique + même polynôme minimal suffit à caractériser les classes de similitudes des matrices de taille 1, 2 et 3. En d'autres termes, la plus petite taille possible pour trouver un contre-exemple est n=4.

#3 02-11-2020 22:05:29

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 742

Re : Matrices non semblables

Bravo! Je me demande même ce que vient faire même rang dans cette histoire. Après tout, le rang d'une matrice, à peu de choses près, c'est la dimension de l'espace propre d'une valeur propre particulière....

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quarantesept plus vingt huit
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums