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#1 29-10-2020 16:49:13

MedPr
Membre
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Convergence série

Bonjour, je travaille sur un exercice où l'on me demande d'étudier la convergence de la série ΣUn

1) Un = 1/(ln n)^n pour celle-ci j'ai utilisé le critère de d'Alembert j'ai étudié la limite de Un+1/Un, celle-ci tend vers 0 or 0 <1 donc la série converge. Je voulais savoir si le raisonnement est correct car je ne suis pas sur de moi.

2) Un = cos(1/n^2), ici le critère de d'Alembert, ne nous est pas très utile j'ai donc cherché un équivalent, 1/n^2 mais je n'arrive à savoir si cette équivalent est vrai

3) Un = [cos(n).cos(1/ln n)]/n là en revanche je n'y arrive pas du tout


Je vous remercie d'avance si vous avez des éléments qui pourraient m'aider dans mon raisonnement.

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#2 29-10-2020 18:21:29

Fred
Administrateur
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Re : Convergence série

Bonjour,

  Pour le 2, ton équivalent est faux....

F.

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#3 29-10-2020 19:57:14

MedPr
Membre
Inscription : 29-10-2020
Messages : 9

Re : Convergence série

D'accord merci, pensez-vous que mon raisonnement pour la question 1 est correct. Avez-un idée de départ pour la question 3 ? MERCI !

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#4 30-10-2020 08:40:29

Zebulor
Membre
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Re : Convergence série

Bonjour,
une idée de départ pour la question 3 ? tu peux chercher un équivalent de $cos( \frac{1}{ln(n)})$, et en déduire un équivalent de $u_n$

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#5 30-10-2020 12:50:43

MedPr
Membre
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Messages : 9

Re : Convergence série

D’accord merci, j’essaye cette méthode

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#6 30-10-2020 16:22:47

cortexlespyramides
Invité

Re : Convergence série

Bonjour,

Pour la 2, n'y aurait-il pas comme qui dirais-je "divergence grossière" ?

En revanche, la 3 me paraît particulièrement salée : en faisant le développement limité de cos(1/ln(n)), on trouve que $u_n = \frac{\cos(n)}{n} - \frac{\cos(n)}{2n\ln^2(n)} + o\left(\frac{\cos n}{n\ln^2 n}\right)$. Enfin, on montre que $\sum \frac{\cos n}{n}$ est une série convergente avec une transformation d'Abel, et on montre que $\frac{\cos(n)}{2n\ln^2(n)}$ est le terme général d'une série absolument convergente en majorant sa valeur absolue par le terme général d'une série de Bertrand, dont on montre la convergence à l'aide d'une comparaison série-intégrale, et ainsi la série $\sum u_n$ est convergente, pfiou !

Tout cela me paraît extrêmement capilotracté au vu la difficulté des questions précédentes...

#7 30-10-2020 17:54:35

Zebulor
Membre
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Re : Convergence série

Bonsoir,

cortexlespyramides a écrit :

on montre que $\frac{\cos(n)}{2n\ln^2(n)}$ est le terme général d'une série absolument convergente en majorant sa valeur absolue par le terme général d'une série de Bertrand, dont on montre la convergence à l'aide d'une comparaison série-intégrale, et ainsi la série $\sum u_n$ est convergente, pfiou !

Tout cela me paraît extrêmement capilotracté au vu la difficulté des questions précédentes...

Pas si compliqué que çà dans la mesure où $\frac{\cos(n)}{2n\ln^2(n)}$ est le terme général d'une série qui elle aussi converge d'après le  Théorème d'Abel..

Dernière modification par Zebulor (30-10-2020 17:55:45)

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#8 30-10-2020 23:57:23

cortexlespyramides
Invité

Re : Convergence série

Certes, mais...

avec cette technique, on a toujours le petito qui nous embête, étant donné que le théorème d'Abel ne montre que la convergence de la série, et non pas son absolue convergence.

#9 31-10-2020 09:24:48

Zebulor
Membre
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Messages : 990

Re : Convergence série

Re,
l'intitulé du sujet laisse en effet penser qu'il faut aussi étudier la convergence absolue de la série..

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#10 31-10-2020 10:06:10

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 742

Re : Convergence série

Bonjour,

  Je ne suis pas d'accord : la série $\sum_n \frac{1}{n(\ln n)^2}$ est convergente (c'est une série de Bertrand convergente).

F.

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#11 31-10-2020 14:10:01

Zebulor
Membre
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Messages : 990

Re : Convergence série

Bonjour Fred,
j'essaie de comprendre en quoi le fait que la série $\sum_n \frac{1}{n(\ln n)^2}$ converge est en désaccord avec les posts précédents.

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#12 31-10-2020 18:02:01

Fred
Administrateur
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Messages : 5 742

Re : Convergence série

Cortexlespyramides avait l'air ennuyé par le o qui ne pose en fait aucun problème. C'est juste ce que je voulais dire.

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#13 01-11-2020 16:40:22

cortexlespyramides
Invité

Re : Convergence série

Fred a écrit :

Cortexlespyramides avait l'air ennuyé par le o qui ne pose en fait aucun problème. C'est juste ce que je voulais dire.

Bonjour,

Le o me posait problème dans la technique proposée par Zebulor, qui plutôt que de passer par les séries de Bertrand, suggérait de montrer la convergence de la série $\sum \frac{\cos n}{2n\ln^2n}$ avec une transformation d'Abel. Le problème avec cette technique est qu'elle ne montre que la convergence de la série, et pas son absolue convergence.

Or, un o d'un terme général d'une série convergente peut être le terme général d'une série divergente : par exemple, $\frac{1}{n} = o\left(\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right)$, mais pourtant $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge alors que $\sum \frac{1}{n}$ diverge.

Lorsque l'on fait un développement limité, on est obligé de s'arrêter au premier terme d'une série absolument convergente pour pouvoir conclure (ou au premier terme d'une série divergente), et sûrement pas au premier terme d'une série semi-convergente (sinon, on aurait pu tout simplement s'arrêter en disant que $u_n \sim \frac{\cos n}{n\ln n}$ qui est le terme général d'une série convergente, mais j'espère que tout le monde est d'accord pour dire que c'est insuffisant pour conclure).

Sinon, le o ne me posait aucun problème dans ce que j'avais fait au départ : j'étais absolument d'accord avec ma démonstration, qui utilisait les séries de Bertrand (exactement comme Fred le fait), et qui conclut sans équivoque à la convergence de la série, mais je la trouvais compliquée, et je ne vois pas comment on peut la simplifier d'une quelconque manière que ce soit.

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