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#1 27-10-2020 21:08:55

Fiona
Invité

Entiers relatifs

Bonjour !

Voici l'énoncé d'un DM de Maths expertes où je bloque:

1) On souhaite déterminer les entiers relatifs n tels que n+7 divise n^2+7
a. En utilisant l'expression n^2+7-(n^2-49), montrer que si n+7 divise n^2+7, alors n+7 divise 56
b. En déduire les réponses au problème posé
2) En s'inspirant de la méthode précédente, montrer qu'il y a toujours au moins quatre entiers relatifs n tels que n+δ divise n^2+δ, où δ est un entier relatif non nul.

Pour la a, j'ai fait : n+7/n^2+7-(n^2-49)
n+7/n^2+7-n^2+49
n+7/56
A partir de la b, je ne vois pas comment procéder :/

Merci d'avance pour votre aide !

#2 27-10-2020 21:56:41

Fiona
Invité

Re : Entiers relatifs

J'ai finalement réussi la question b. Vu que les diviseurs de 56 sont -56, -28, -14, -8, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56; j'ai n qui prend comme valeurs -63, -35, -21, -15, -14, -11, -9, -8, -6, -5, -3, 0, 1, 7, 21, 49; en faisant à chaque fois n+7=-56, n+7=-28 etc...

Pour la 2), j'ai une piste qui je pense est juste: n+δ/n^2-δ^2. Comme n+δ/n^2+δ, alors n+δ/(n^2+δ)-(n^2-δ^2)
                                                                                                                                  n+δ/δ+δ^2
                                                                                                                                  n+δ/δ(δ+1)

Et après... ? :/

#3 31-10-2020 13:15:34

F_Adrien
Membre
Inscription : 16-10-2020
Messages : 3

Re : Entiers relatifs

Fiona a écrit :

Bonjour !

Voici l'énoncé d'un DM de Maths expertes où je bloque:

1) On souhaite déterminer les entiers relatifs n tels que [tex]n+7[/tex] divise [tex]n^2+7[/tex] :
a. En utilisant l'expression [tex]n^2+7-\left(n^2-49\right)[/tex], montrer que si [tex]n+7[/tex] divise [tex]n^2+7[/tex], alors [tex]n+7[/tex] divise [tex]56[/tex].
b. En déduire les réponses au problème posé.
2) En s'inspirant de la méthode précédente, montrer qu'il y a toujours au moins quatre entiers relatifs [tex]n[/tex] tels que [tex]n+\delta[/tex] divise [tex]n^2+\delta[/tex], où [tex]\delta[/tex] est un entier relatif non nul.

[tex]\left[\ldots\right][/tex]

Merci d'avance pour votre aide !

Solution ? Non, caviardée par les soins de Yoshi modérateur

Désolé, chez nous, il est exclu de donner la solution sans autre forme de procès...
On préfère de loin guider le demandeur sur la voie de la solution.
Et ceci figure en toutes lettre dans nos Règles...
Encore faut-il les avoir lues !

Dernière modification par yoshi (31-10-2020 13:33:05)

Hors ligne

#4 01-11-2020 11:05:27

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 432

Re : Entiers relatifs

Fiona a écrit :

J'ai finalement réussi la question b. Vu que les diviseurs de 56 sont -56, -28, -14, -8, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56; j'ai n qui prend comme valeurs -63, -35, -21, -15, -14, -11, -9, -8, -6, -5, -3, 0, 1, 7, 21, 49; en faisant à chaque fois n+7=-56, n+7=-28 etc...

Et après... ? :/

Salut,

ce que tu dis est faux, il faut réfléchir un peu plus d'autant que la question 2 donne l'information selon laquelle tu ne peux trouver que 4 occurrences (hormis n=0, bien entendu). Je pense que la mention "entier relatif" est erronée, il faut parler d'entier naturel. Le sujet n'est pas vraiment clair … ou mal recopié.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#5 01-11-2020 15:57:40

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 225

Re : Entiers relatifs

Bonjour,

Fiona ne s'est pas remanifestée, va-t-elle repasser par là ?
Le DM ne date pas du 27/10 (en pleine 2e semaine de vacances) et certes n'est pas forcément pour demain mais pourquoi 5 jours de silence ?

1b) On a  $n+7$ divise 56
Et si, freddy, l'énoncé demande des entiers relatifs (pas d'erreur) pourquoi vouloir absolument des naturels :
les diviseurs de 56 sont bien $\{\pm 1,\, \pm 2,\, \pm 4,\, \pm 7,\,\pm 8,\,\pm 14\pm 28,\,\pm 56\} $
Donc si
$n+7 =-1$    alors n = -8
$n+7 = 1$    alors n = -6
$n+7 = -2$   alors n = -9
$n+7 = 2$    alors n = -5
$n+7 =-4$    alors n=-11
$n+7= 4$     alors  n=-3
etc...

Mais Fiona, tu as zappé le 1a) qui est
$n+7\, |\, n^2+7\;\Longrightarrow\; n+7 \, | \, 56$ en utilisant $(n+7\,  |\,  n^2+7\;\Longrightarrow\;n+7\,  |\,  n^2+7-(n^2-49)\;\Longrightarrow\; n+7 \, | \, 56$
Je donne juste une indication.
Tu ne t'es pas demandé :
Pourquoi 49 ? Et pourquoi $n^2-49$ ? D'où sort-il ? (*)

$n^2-49$ s'écrit aussi $(n-7)(n+7)$
Justifie donc que $n+7\,|\,  n^2+7\;\Longrightarrow\;n+7\,  |\,  n^2+7-(n-7)(n+7)$

2) $n+\delta\,|\,\delta(\delta+1)$
    Oui.. Pose-toi la question : par quoi es-tu certaine de pouvoir diviser $\delta(\delta+1)$
   Lorsque ce sera fait, tu n'auras plus qu'à résoudre $n+\delta =\cdots$

@+

(*)
Rappel
Si a divise b et a divise c alors a divise toute somme algébrique de multiple de a  et de multiple de b
Et bien entendu a divise lui-même

Pour a, je prends $n+7$ pour b, je prends $n^2+7$ et pour c, je prends n+7...
A quoi veux-je arriver ? Je veux arriver à n+7 divise un nombre relatif...
Ici, on me le dit : je dois arriver à n+7 divise 56, donc je dois passer de $n^2+7$ à 56, d'où le raccourci de l'énoncé...
qui fait $-n^2$ et $+49$ c'est à dire $-(n^2-49)$...
Alors évidemment tu vas probablement dire $-n^2$ pour éliminer les $n^2$ et +49 pour arriver à 56... Mais pourquoi 56 et pas 58 ou 60 ou.... ????

Voilà pourquoi 56 :
J'amorce la pompe :
1. Je vais éliminer les $n^2$
    Si $n+7 \,|\,n^2+7$  alors $n+7 \,|\,n^2+7−n(n+7)$
    $n(n+7)$ est bien un multiple de c (c=n+7) et je choisis n pour pouvoir éliminer les $n^2$
    Donc
    $n+7\,|\,n^2+7−n(n+7) \;\Longrightarrow\;n+7\,|\,n^2+7−n^2-7n \;\Longrightarrow\; n+7\,|\, n^2+7−n^2−7n \;\Longrightarrow\; n+7\,|\,-7n+7$

2. Élimination de -7n sur le même principe :
   $n+7\,|\,-7n+7 \;\Longrightarrow\;n+7\,|\,-7n+7 +7(n+7) \;\Longrightarrow\;n+7\,|\,-7n+7 +7n+49 \;\Longrightarrow\;56$

Dernière modification par yoshi (01-11-2020 16:34:43)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#6 01-11-2020 16:18:14

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 432

Re : Entiers relatifs

Salut l'ami,

Oui, tu as raison, j'ai zappé la référence "au moins quatre" et comme je ne trouvais que 4 entiers naturels positifs, j'ai généralisé hâtivement pour faire entrer les solutions dans ma lecture biaisée ... je reste encore un peu étourdi !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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