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#1 30-10-2020 17:37:09

tsuki
Membre
Inscription : 30-10-2020
Messages : 2

theoreme d'inversion local/global

Bonjour
j'ai pas bien compris le theoreme d'inversion local et global
pour montrer qu'il s'agit d'un C^k diffeomorphisme on doit montrer que :
f est bijective
f est continue
la jacobienne est inversible
mais .. dans les exercices des fois ils montrent qu'elle est continue et le jacobien est non nul + l'injectivité seulement pourquoi on montre pas qu'elle est surjective aussi ?, donc c'est une inversion global? comment peut on savoir quel theoreme on doit appliquer.
merci

Hors ligne

#2 31-10-2020 07:02:33

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 742

Re : theoreme d'inversion local/global

Bonjour,

  Les hypothèses sont très différentes (cf http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … ocale.html)

* pour le théorème d'inversion locale, tu supposes qu'en un point $a$ la jacobienne est inversible. Et tu en déduis l'existence d'un voisinage $U$ de $a$ telle que $f$ réalise un $C^k$-difféomorphisme de $U$ sur $f(U)$.

* pour le théorème d'inversion globale, tu as au préalable un ouvert $\mathcal O$ fixé, et tu prends comme hypothèse que la jacobienne est inversible en tout point de $\mathcal O$. Tu en déduis que $f$ est un $C^k$ difféomorphisme de $\mathcal O$ sur $f(\mathcal O)$.

Si on te demande de démontrer que $f$ est un $C^k$-difféomorphisme de ... sur ..., alors c'est le théorème d'inversion globale qu'il faut utiliser.
Si on te demande de démontrer qu'il existe un ouvert ... tel que $f$ réalise un $C^k$-difféomorphisme de ... sur ..., alors c'est le théorème d'inversion locale qu'il faut utiliser.

F.

Hors ligne

#3 31-10-2020 18:20:54

tsuki
Membre
Inscription : 30-10-2020
Messages : 2

Re : theoreme d'inversion local/global

le lien ne marche pas mais Merci beaucoup , j'ai trés bien compris :)

Dernière modification par tsuki (31-10-2020 18:23:20)

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