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#1 29-10-2020 10:14:46

eomfe3112
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Valider ou infirmer une affirmation (maths expertes Tale)

Bonjour

n est un entier naturel. On définit le nombre entier[tex] A_n= 1+5^n + 5^{2n} + 5^{3n} [/tex] 
On prétend que:
pour tout entier naturel n, [tex]A_n \equiv 0[13][/tex] si et seulement si n n'est pas un multiple de 4.
Cette affirmation est-elle exacte?

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#2 29-10-2020 11:09:15

freddy
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Re : Valider ou infirmer une affirmation (maths expertes Tale)

Salut,

pose $n=1$ et regarde !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#3 29-10-2020 18:17:32

eomfe3112
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Re : Valider ou infirmer une affirmation (maths expertes Tale)

Re bonjour,
et bien [tex] A_1=156 [/tex] et [tex]156\equiv0[13][/tex]  et 1 n'est pas un multiple de 4 donc pour n=1 la propriété est vrai.

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#4 29-10-2020 18:36:42

freddy
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Re : Valider ou infirmer une affirmation (maths expertes Tale)

Oui, t'as raison, je me suis abusé tout seul, je pensais avoir trouvé un contre exemple simple (je suis un peu diminué, pardon !).
I try again !

PS : Qui a posé cette question, dans quel cadre et à quel niveau en maths ?

Dernière modification par freddy (29-10-2020 18:50:13)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#5 29-10-2020 19:50:25

eomfe3112
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Re : Valider ou infirmer une affirmation (maths expertes Tale)

Pas de problème.

C'est un exercice d'un DM en maths expertes de T-ale. Nous venons de finir le chapitre sur la divisibilité, les congruences et la division euclidienne.

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#6 30-10-2020 08:50:31

freddy
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Re : Valider ou infirmer une affirmation (maths expertes Tale)

Salut,

c'est quoi, maths expertes ? Une classe spéciale ? Ton sujet doit faire appel à une ppté vue en cours car là, j'observe que tout le monde cale, comme moi :)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#7 30-10-2020 09:33:16

yoshi
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Re : Valider ou infirmer une affirmation (maths expertes Tale)

Bonjour,

Un p'tit coup de Python pour fixer les idées, peut-être ?

for n in range(21):
    An = (1 + 5**n + 5**(2*n) + 5**(3*n))
    print("%2i" % n,"    ", An%13,"  ","%42i" % An)
  
 n   An % 13                    An
 0      4                                             4
 1      0                                           156
 2      0                                         16276
 3      0                                       1968876
 4      4                                     244531876
 5      0                                   30527346876
 6      0                                 3814941421876
 7      0                               476843261796876
 8      4                             59604797363671876
 9      0                           7450584411623046876
10      0                         931322669982919921876
11      0                      116415324211120654296876
12      4                    14551915287971496826171876
13      0                  1818989405035972596435546876
14      0                227373675480484962469482421876
15      0              28421709431335330009490966796876
16      4            3552713678823783993721160888671876
17      0          444089209850644692778588104248046876
18      0        55511151231272378936409954071044921876
19      0      6938893903907592175528407115936279296876
20      4    867361737988412642152979970073699951171876

Ce qui m'a amené à penser que :
$A_n=1+5^n(1+5^n(1+5^n))$
Pourquoi ne pas ne pas le faire en 2 fois ?
Montrer que si n multiple de 4, alors $An\equiv 0\quad [13]$
Montrer que pour n multiple de 4 (et donc $\neq 0$), alors $An\equiv 4\quad [13]$ ?

Je vais regarder ça de plus près...

@+


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#8 30-10-2020 10:32:40

freddy
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Re : Valider ou infirmer une affirmation (maths expertes Tale)

Re,

J'avais eu une autre idée puisque $A_n$ est la somme des quatre premiers termes d'une suite géométrique de raison $5^n$, mais ensuite ...

Dernière modification par freddy (30-10-2020 10:33:29)


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#9 30-10-2020 10:44:27

eomfe3112
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Re : Valider ou infirmer une affirmation (maths expertes Tale)

Re bonjour, merci de toutes vos réponses
Maths expertes c'est une option de 3h par semaine que l'on peut suivre en terminal.
J'ai fais quelque chose. 

une formule dans mon cours dit: [tex]a \mid b \Longleftrightarrow b\equiv0[a] [/tex]
D'où: [tex]A_{n} \equiv 0[13] \Longleftrightarrow 13 \mid A_{n} [/tex]

Donc je me suis dit que je vais voir si pour tout n, [tex] 13 \mid A_{n} [/tex] et donc voir si pour tout n:  [tex]A_{n} \equiv 0[13][/tex]

[tex] 5^{2} \equiv -1[13] [/tex]

[tex]5^{2} +5 \equiv 4[13][/tex]

[tex](5^{2} +5) \times 5 \equiv 4 \times 5[13][/tex]

[tex]5^{3} +5^{2} \equiv 20[13][/tex]

[tex]5^{3} +5^{2} +5 \equiv 25[13][/tex]

[tex]5^{3} +5^{2} +5 +1 \equiv 26[13][/tex]

[tex]5^{3} +5^{2} +5 +1 \equiv 0[13][/tex]

[tex](5^{3} +5^{2} +5 +1)^n \equiv (0)^{n}[13][/tex]

[tex]5^{3n} +5^{2n} +5^{n} +1^{n} \equiv 0[13][/tex]

[tex]5^{3n} +5^{2n} +5^{n} +1 \equiv 0[13][/tex]

[tex]A_{n} \equiv 0 [13] [/tex]

Mais maintenant, si ce que j'ai fais est juste, je viens de prouver que   [tex]A_{n} \equiv 0[13][/tex] pour tout n?  Donc l'affirmation est fausse?

Dernière modification par eomfe3112 (30-10-2020 11:00:20)

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#10 30-10-2020 11:10:36

yoshi
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Re : Valider ou infirmer une affirmation (maths expertes Tale)

Salut,

J'étais en train d'examiner la même piste et j'ai simplifié
$An=(1+5^{2n})(1+5^n)$
pour n = 0, $A_0=2\times 2=4 \equiv 4\quad[13]$
pour n = 1  $_1= 26\times 6    \equiv 0 \quad[13]$
pour n = 2  $A_2=626 \times 26  \equiv 0 \quad[13]$
pour n = 3  $A_3= (1+5^6)\times(1+5^3)$
$5^2=25\equiv 12 \quad [13]$
$5^6=(5^2)^3\times  \equiv (144\times 12) \equiv (12 \times12)\equiv 12 \quad [13]$
$1+5^6 \equiv 0\quad[13]$
Et $A_3\equiv 0\quad[13]$

Et donc je pense qu'il suffit de chercher  dans $5^n\equiv r \quad[13]$ on en déduit alors
$r^2  \equiv \text{ ?}\quad 13$
puis
$1+r \equiv \text{ ?} \quad [13]$  et   $1+r^2\equiv \text{ ?}\quad [13]$

Qu'en penses-tu ?

@+


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#11 30-10-2020 15:47:50

poipoi34
Invité

Re : Valider ou infirmer une affirmation (maths expertes Tale)

eomfe3112 a écrit :

[tex](5^{3} +5^{2} +5 +1)^n \equiv (0)^{n}[13][/tex]

[tex]5^{3n} +5^{2n} +5^{n} +1^{n} \equiv 0[13][/tex]

c'est faux en général ça je pense.

il y a une formule analogue je crois, mais je ne pense pas que ça soit au programme de maths experte(à verifier):
[tex] (a+b)^{p} \equiv a^{p}+b^{p}[p] [tex] lorsque p est premier

#12 30-10-2020 16:04:11

freddy
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Re : Valider ou infirmer une affirmation (maths expertes Tale)

Re,

j'étais arrivé à la même factorisation que toi puis … Mais en réalité, je pense que la piste est bonne.

Le truc est d'observer que si $5^n \equiv 12 \bmod 13$ alors $5^{2n} \equiv 1 \bmod 13$ et donc $5^{3n} \equiv 12 \bmod 13$, et que si  $5^4p \equiv 1 \bmod 13$ alors $5^{2 \times 4p} \equiv 1 \bmod 13$ ce qui permet déjà de montrer que si n est un multiple de 4, c'est cuit.

Ensuite, pour n variant de 1 à q quelconque, on a les restes modulo 13 suivants de $5^n$ : 1, 12, 8, 1, 12, 8, 1, 12, 8, 1 … et on a vérifie que $8\times 8 \equiv 12 \bmod 13$.

C'est mal formulé, mais je pense que c'est la piste recherchée.

Dernière modification par freddy (31-10-2020 12:45:21)


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#13 30-10-2020 16:06:44

yoshi
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Re : Valider ou infirmer une affirmation (maths expertes Tale)

Bonjour,

Il faut quand même que eomfe3112 sache qu'à vouloir jouer sur deux tableaux, il risque de perdre sur les deux :
https://www.maths-forum.com/lycee/maths … 26791.html
Je vais tâcher de faire savoir à l'autre site à quoi tu joues et tu vas voir combien ils vont apprécier !

Donc eomfe inutile de revenir sans excuses...

Je laisse ce sujet ouvert, le temps de développer mon idée...

@+


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#14 30-10-2020 16:22:25

Black Jack
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Re : Valider ou infirmer une affirmation (maths expertes Tale)

Bonjour,

Alternative (pas complète)

An = (1 + 5^n) * (1 + 5^(2n))

Si (1 + 5^n) = 13.k (k dans N) est vrai pour une certaine valeur k de n, on a : 5^n = 13k-1
5^(n+4) = 625 * 5^n = 625 * (13k-1)
1 + 5^(n+4) = 13 * 625k - 624

1 + 5^(n+4) = 13 * (625k - 48) et donc (1 + 5^n) = 13.k

Comme (1 + 5^n) = 13.k est vrai pour n = 2, An est multiple de 13 pour tout n = 2 + 4k
-----
De manière analogue, à partir de : Si (1 + 5^(2n)) = 13.k (k dans N) est vrai pour une certaine valeur k de n, on démontre que c'est vrai aussi pout n = k + 4

Comme (1 + 5^(2n)) = 13.k est vrai pour n = 1, An est multiple de 13 pour tout n = 1 + 4k

Mais on a aussi : (1 + 5^(2n)) = 13.k est vrai pour n = 3 et donc An est multiple de 13 pour tout n = 3 + 4k
-----
Donc An est multiple de 13 pour tout n de N tel que n = 4k+1 , n = 4k+2 et n = 4k+3.

Reste à étudier le cas avec n = 4k

(1 + 5^n) = (1 + 5^(4k)) = 1 + 625^k ... jamais multiple de 13 (qu'il faudrait démontrer proprement)
(1 + 5^(2n)) = (1 + 5^(8k)) = 1 + 390625^k ... jamais multiple de 13 (qu'il faudrait démontrer proprement)

Et donc An n'est pas multiple de 13 pour n = 4k

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#15 30-10-2020 16:37:06

freddy
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Re : Valider ou infirmer une affirmation (maths expertes Tale)

freddy a écrit :

Re,

j'étais arrivé à la même factorisation que toi puis … Mais en réalité, je pense que la piste est bonne.

Le truc est d'observer que si $5^n \equiv 12 \bmod 13$ alors $5^{2n} \equiv 1 \bmod 13$ et donc $5^{3n} \equiv 12 \bmod 13$, et que  $5^4 \equiv 1 \bmod 13$ et  $5^{2 times 4} \equiv 1 \bmod 13$ ce qui permet déjà de montrer que si n est un multiple de 4, c'est cuit.

Ensuite, pour n variant de 1 à p quelconque, on a les restes modulo 13 suivants de $5^n$ : 1, 12, 8, 1, 12, 8, 1, 12, 8, 1 … et on a vérifie que $8\times 8 \equiv 12 \bmod 13$.

C'est mal formulé, mais je pense que c'est la piste recherchée.

La bonne formulation devrait être la suivante :
si $5^n \equiv 1 \bmod 13$ alors $5^{2n} \equiv 1 \bmod 13$
si $5^n \equiv 12 \bmod 13$ alors $5^{2n} \equiv 1 \bmod 13$
si $5^n \equiv 8 \bmod 13$ alors $5^{2n} \equiv 12 \bmod 13$
ce qui doit permettre de soutenir l'affirmation du texte.


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#16 30-10-2020 18:28:51

yoshi
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Re : Valider ou infirmer une affirmation (maths expertes Tale)

Re,

n   |       5^n           |     (5^n)%13
----|------------------|---------
0   |  5^0  =   1      |          1
1   |  5^1  =  1 * 5 |          5
2   |  5^2  = 25      |         12
3   |  (5^2) * 5       |     60 = 8

et on voit
n = 4 = 3+1,  $5^4=5^3\times 5 \equiv 40 \equiv 1$
n = 5 = 4+1,  $5^5=5^4\times 5 \equiv 5$
n = 6 = 5+1,  $5^6=5^5\times 5 \equiv 25 \equiv 12$
n = 7 = 6+1,  $5^6=5^5\times 5 \equiv 60 \equiv 8$

Donc si
n multiple de 4, n = 4k, (k>=1, alors $5^{4k}= (5^4)k\equiv 1^k =1$
n multiple de 4 + 1, $5^{4k+1} =5^{4k}\times 5\equiv 1\times 5 =5$
n multiple de 4 + 2, $5^{4k+2} =5^{4k+1}\times 5\equiv 5\times 5 =25\equiv 12$
n multiple de 4 + 3, $5^{4k+3} =5^{4k+2}\times 5 \equiv 12\times 5 =60\equiv 8$

Et
n   |    (1+ 5^n )%13
----|---------------------
0   |          2   
1   |          6
2   |          0   
3   |          9

Donc
n         |    (1+ 5^n )%13
4k       |          2
4k+1   |          6
4k+2   |          0   
4k+3   |          9


n   |      ( 5^n)^2         |     ((5^n)^2)%13
----|------------------|---------
0   |  (5^0)^2 =   1      |          1
1   |  (5^1)^2 =  25     |         12
2   |  (5^2)^2 = 625    |       12^2  =1     
3   |  (5^3)^2 =15625 |        8^2 = 12|

n   | (1+5^2n)%13   | (1+ 5^n )(1+5^2n)%13
------------------------|-----------------------
0   |         2              |           4
1   |         0              |           0
2   |         2              |           0
3   |         0              |           0

Et on montrerait simplement ensuite que
si n=4k,      $A_n \equiv 4 \quad [13]$
si n=4k+1,  $A_n \equiv 0 \quad [13]$
si n=4k+2,  $A_n \equiv 0 \quad [13]$
si n=4k+3,  $A_n \equiv 0 \quad [13]$

@+

[EDIT]
@freddy
je viens de voir ton post : on est en phase...

@Black jack
Ah, mais toi aussi !

N-B je n'ai pas cherché à faire court... mais à être aussi précis que possible

Dernière modification par yoshi (30-10-2020 18:33:52)


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#17 31-10-2020 11:02:32

freddy
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Re : Valider ou infirmer une affirmation (maths expertes Tale)

Hello,

ce qui me donne de l'espoir est qu'on a plus de 200 ans à nous trois et qu'en cherchant un peu, on a fini par trouver la résolution d'un sujet un peu velu, ça me rassure.
Je ne pense pas qu'on revoit le requérant qui ne sait pas qu'il sert à rien de pomper une solution toute faite, seul le plaisir de chercher (et de trouver) permet de s'améliorer et de progresser. Je ne sais pas si les gars de l'autre site ont trouvé, moi, ça m'a fait plaisir de le faire, le  cerveau est toujours en forme, malgré tout !
@yoshi : laisse le sujet stp, il est assez beau en soi, il mérite d'être connu par d'autres !

Dernière modification par freddy (31-10-2020 12:47:22)


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#18 31-10-2020 16:26:29

F_Adrien
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Re : Valider ou infirmer une affirmation (maths expertes Tale)

eomfe3112 a écrit :

Bonjour,

Soit [tex]n[/tex] est un entier naturel. On définit l'entier [tex]A_n=1+5^n+5^{2n}+5^{3n}[/tex]. On prétend que pour tout entier naturel [tex]n[/tex], [tex]A_n\equiv0\pmod{13}[/tex] si et seulement si [tex]n[/tex] n'est pas un multiple de [tex]4[/tex]. Cette affirmation est-elle exacte ?

Solution

Soit [tex]n[/tex] un entier naturel. On a $A_n=1+5^n+5^{2n}+5^{3n}\equiv1+5^n+\left(-1\right)^n+\left(-5\right)^n\pmod{13}$ car [tex]5^2=25\equiv-1\pmod{13}[/tex] et [tex]5^3=125\equiv-5\pmod{13}[/tex]. On distingue deux cas :

  1. Si [tex]n[/tex] est impair alors, d'après ce qui précède : [tex]A_n\equiv1+5^n-1^n-5^n=0\pmod{13}[/tex] donc [tex]A_n[/tex] est divisible par [tex]13[/tex].

  2. Si [tex]n[/tex] est pair alors, on pose [tex]n=2m[/tex] avec [tex]m\in\mathbb{N}[/tex]. On a [tex]A_n\equiv2\left(1+5^n\right)=2\left(1+5^{2m}\right)\equiv2\left(1+\left(-1\right)^m\right)\pmod{13}[/tex].

    On en déduit que si [tex]m[/tex] est impair alors [tex]A_n\equiv0\pmod{13}[/tex] sinon (le cas où [tex]n[/tex] est multiple de [tex]4[/tex]), [tex]A_n\equiv4\pmod{13}[/tex].

En conclusion [tex]\boxed{A_n\equiv0\pmod{13}\text{ sii }n\not\equiv0\pmod{4}}[/tex].

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#19 31-10-2020 16:49:32

freddy
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Re : Valider ou infirmer une affirmation (maths expertes Tale)

Salut F_Adrien,

bravo, très bien, je pense que c'est comme cela qu'il était attendu qu'on fasse, c'est en phase avec un cours sur les congruences, mais un autre chemin était possible, comme on sait.


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