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#1 30-10-2020 16:51:36

poipoi34
Invité

Matrice de rang 1 et espace propre

Bonjour,
je comprend qu'une matrice de rang 1 admet 0 comme valeur propre.
Comment se convaincre que cette valeur propre est de multiplicité n-1 (la matrice étant de taille n), c'est à dire que 0 est racine de multiplicité n-1 du polynome caractéristique.

#2 31-10-2020 06:57:01

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 742

Re : Matrice de rang 1 et espace propre

Bonjour,

  C'est faux! Si je prends la matrice $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$, alors elle est de rang 1 et le polynôme caractéristique de $A$ est $X^2$. La seule chose que tu peux dite, c'est que, par le théorème du rang, la dimension du noyau est $n-1$ et donc que $0$ est racine de multiplicité au moins $n-1$ du polynôme caractéristique.

F.

Hors ligne

#3 31-10-2020 14:42:04

poipoi34
Invité

Re : Matrice de rang 1 et espace propre

Merci pour ta réponse, tu as raison. je voulais dire que la multiplicité de la racine est au moins n-1.
Mon problème, c'est le "donc" de ta réponse dans :
"la dimension du noyau est n-1 donc 0 est racine de multiplicité au moins n-1".
comment montrer cette implication?
Tout ce que j'arrive à dire, c'est que le polynome caractéristique n'a que 2 racines distinct au maximum.
si il en admet 3, alors il existe 2 valeurs propres non nulles et donc 2 vecteurs propres non colinéaire et donc l'image serait de dimension 2 au moins.
donc le polynome caractéristique est de la forme :
$P(X) = X^{a}*(X-\lambda)^{b}$ avec  a+b = n
comment savoir que:
$P(X) = X^{n-1}*(X-\lambda)$

#4 31-10-2020 14:47:26

aroufgangsta
Invité

Re : Matrice de rang 1 et espace propre

Bonjour,

C'est un théorème du cours : "La dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre lambda est comprise entre 1 et la multiplicité de lambda vu comme une racine du polynôme caractéristique de M" (il y a sûrement un moyen de l'exprimer plus rapidement, mais tu as l'idée.)

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