Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 30-10-2020 11:38:59
- jiangzeminnarienfaitdemal
- Membre
- Inscription : 26-09-2020
- Messages : 7
$\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$
Bonjour,
Je suis en LDD1 Info-Math, et je dois déterminer $N$ tel que $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$.
Je simplifie le côté gauche par $n$ pour obtenir $\frac{n+\ln{n}}{n^2}$ et je veux avoir une inéquation avec $0$ à l'autre côté donc $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}-\frac{1}{2}>0\Leftrightarrow\frac{-n^2+2n+2\ln{n}}{2n^2}>0$. Je supprime les $\text{ln}$ (elle est strictement croissante) : $\frac{n\cdot e^{-n^2+2n}}{e^{n^2}}>0$. Maintenant il faut montrer qu'il existe $n\in N^{*}$ tel que $n\cdot e^{-n^2+2n}>0$ pour tout $n\geq N$ et là je suis bloqué.
Merci d'avance pour vos conseils
Hors ligne
#2 30-10-2020 12:55:14
- Romaiys
- Membre
- Inscription : 16-12-2019
- Messages : 22
Re : $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$
Attention ! La strict croissance de la fonction logarithme népérien ne justifie pas du tout ton équivalence ! (Elle n'est pas définie en 0 déjà... et sauf erreur de ma part, je ne crois pas que les simplification soient justes....).
A ce stade, regarde pour écrire un algorithme (en python Licence Maths-Info ?) faisant le boulot en considérant une suite... ou un raisonnement par tâtonnement.
Hors ligne
#3 30-10-2020 17:27:40
- cortexlespyramides
- Invité
Re : $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$
T'es sûr que t'es pas en train de chercher midi à quatorze heure ici ?
#4 30-10-2020 20:13:37
- jiangzeminnarienfaitdemal
- Membre
- Inscription : 26-09-2020
- Messages : 7
Re : $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$
Attention ! La strict croissance de la fonction logarithme népérien ne justifie pas du tout ton équivalence ! (Elle n'est pas définie en 0 déjà... et sauf erreur de ma part, je ne crois pas que les simplification soient justes....).
A ce stade, regarde pour écrire un algorithme (en python Licence Maths-Info ?) faisant le boulot en considérant une suite... ou un raisonnement par tâtonnement.
Je suis certain qu'il ne faut pas utiliser les algorithmes pour l'instant.
Hors ligne
#5 30-10-2020 20:18:04
- jiangzeminnarienfaitdemal
- Membre
- Inscription : 26-09-2020
- Messages : 7
Re : $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$
T'es sûr que t'es pas en train de chercher midi à quatorze heure ici ?
Oui, je complique trop la démonstration.
En fait la suite $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}$ est supérieur à $\frac{1}{2}$ dans une intervalle donc $N$, avec cette propriété, n'existe pas donc trouver un $n$ tel que $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ ne suffit pas. C'est ca qui me gène
Hors ligne
#6 30-10-2020 20:26:09
- valoukanga
- Membre
- Inscription : 30-11-2019
- Messages : 196
Re : $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$
Bonjour !
À vrai dire, tu risques d'y passer un bon temps. La quantité que tu proposes tend vers 0 en $+ \infty$, donc trouver un tel $N$ est tout simplement impossible.
Hors ligne
#7 30-10-2020 21:01:23
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 943
Re : $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$
B'soir,
Suite à la remarque de valoukanga j'ai testé la question :
Maintenant il faut montrer qu'il existe $n\in N^{*}$ tel que $n\cdot e^{-n^2+2n}>0$ pour tout $n\geq N$ et là je suis bloqué
avec Python...
Réponse :
for n in range(1,13):
print ("n =",n," ","n*exp(-n^2+2n) =",n*exp(-n**2+2*n ))
n = 1 n*exp(-n^2+2n) = 2.718281828459045
n = 2 n*exp(-n^2+2n) = 2.0
n = 3 n*exp(-n^2+2n) = 0.14936120510359183
n = 4 n*exp(-n^2+2n) = 0.0013418505116100474
n = 5 n*exp(-n^2+2n) = 1.529511602509129e-06
n = 6 n*exp(-n^2+2n) = 2.2650807265674586e-10
n = 7 n*exp(-n^2+2n) = 4.4135817321028925e-15
n = 8 n*exp(-n^2+2n) = 1.1401312661927481e-20
n = 9 n*exp(-n^2+2n) = 3.9236490000567726e-27
n = 10 n*exp(-n^2+2n) = 1.8048513878454152e-34
n = 11 n*exp(-n^2+2n) = 1.1123436418714934e-42
n = 12 n*exp(-n^2+2n) = 9.2011776884664e-52
Conclusion ?
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
Hors ligne
#8 31-10-2020 01:00:55
- cortexlespyramides
- Invité
Re : $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$
Bonjour !
À vrai dire, tu risques d'y passer un bon temps. La quantité que tu proposes tend vers 0 en $+ \infty$, donc trouver un tel $N$ est tout simplement impossible.
C'est ce que je disais, tu cherches midi là où il n'est pas :D
#9 06-11-2020 11:06:42
- Black Jack
- Membre
- Inscription : 15-12-2017
- Messages : 470
Re : $\frac{n^2+n\cdot\ln{n}}{n^3}>\frac{1}{2}$ pour tout $n\geq N$
Bonjour,
Par une étude simple des variations d'une fonction ...
Il est facile de démontrer que (n²+n.ln(n))/n³ > 1/2 uniquement pour n dans [1 ; 2]
On ne peut donc pas trouver un N tel que n >= N tel que n²+n.ln(n))/n³ > 1/2
Hors ligne