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#1 24-10-2020 17:33:56

Mathieuuuuu
Invité

Divisibilité et Congruences

Bonjour
Je suis en terminale et en mathématique experte j'ai un petit problème voici l'énoncé:

X désigne un nombre entier relatif. On pose n=x2+x-2
A) Déterminer l'ensemble E1 des nombres entiers relatifs x tels que n est divisible par 7
B)Déterminer l'ensemble E2 des nombres entiers relatifs x tels que n est divisible par 3
C)k désigne un nombre entier relatif.
Vérifier que si x=1+21k ou x=-2+21k, alors n est divisible par 3 et 7

Pour répondre au deux premières question qui sont à peu près similaires j'ai fait un tableau de congruences modulo 7 pour la A) x2+x-2 est congrue à 0 modulo 7 et pour la B) x2+x-2 est congrue à 0 modulo 3

Apres j'ai vérifier en calculant le discriminant et les racines
Et je trouve pour la A) x=1+7k ou x=-2+7k et pour la B) x=1+3k ou x=-2+3k

Je voulais savoir si le tableau était indispensable ou si le discriminant suffit est qu'en était t'il du cas pour x=-6 et x=5 pour le A)
De plus la dernières questions m'échappe
Merci de votre réponse

#2 24-10-2020 20:27:01

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 742

Re : Divisibilité et Congruences

Bonjour,

  En général, tu ne peux pas te contenter de calculer le discriminant puis les racines. Ici, tu as de la chance parce que les racines sont des entiers, mais si par exemple tu devais déterminer tous les entiers $x$ tels que $x^2+2$ est congru à 0 modulo 3, alors comment aurais-tu fait? (sachant que par exemple $x=1$ vérifie $x^2+2$ est congru à $0$ modulo $3$).
Je pense qu'à ton niveau, il est plus prudent de faire le tableau des congruences.

La dernière question est assez facile : si $x=1+21k$, alors $x$ est congru à $1$ modulo $3$ et à $1$ modulo $7$....

F.

Hors ligne

#3 25-10-2020 07:54:39

Mathieuuuuu
Invité

Re : Divisibilité et Congruences

D'accord merci mais le problème que j'ai c'est que dans le tableau de congruences modulo 7, pour x=5 ou x=-6 on trouve n=0 ce qui n'est pas forcément logique

#4 25-10-2020 13:58:56

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 742

Re : Divisibilité et Congruences

Pourquoi ce serait gênant ?
* modulo 7, 1 ou -6 c'est la même chose!
* d'autre part un polynome de degré 2 peut avoir plus que 2 racines modulo m.

F

Hors ligne

#5 28-10-2020 09:25:31

Mathieuuuuu
Invité

Re : Divisibilité et Congruences

Rebonjour,

Je n'ai pas très bien compris le raisonnement de la dernière question vu que l'on a pas x congrue à 1 modulo 3 mais x congrue à 0 modulo 3

Merci devotre réponse

#6 28-10-2020 10:51:33

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 742

Re : Divisibilité et Congruences

Tu as tort : si un nombre s'écrit 1+21k, il est congru à 1 modulo 3. Par exemple, c'est le cas de 22.

Hors ligne

#7 28-10-2020 19:42:18

Mathieuuuuu
Invité

Re : Divisibilité et Congruences

D'accord oui c'est vrai que c'est pas très logique ce que j'ai écrit. Mais enoncer que si x=1+21k alors x est congrue à 1 modulo 7 et à 1 modulo 3. Suffit pour vérifier la question ?

#8 28-10-2020 20:23:54

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 742

Re : Divisibilité et Congruences

Ben oui pourquoi ça ne suffirait pas ?

Hors ligne

#9 29-10-2020 09:18:23

Mathieuuuuu
Invité

Re : Divisibilité et Congruences

D'accord, ducoup je dois justifier que x est congrue à 1 modulo 3 et à 1 modulo 7 et après j'ai finis

#10 29-10-2020 13:35:49

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 742

Re : Divisibilité et Congruences

Oui

Hors ligne

#11 29-10-2020 18:52:25

Mathieuuuuu
Invité

Re : Divisibilité et Congruences

Et pour ca je dois refaire un tableau ?

#12 30-10-2020 13:03:50

Mathieuuuuu
Invité

Re : Divisibilité et Congruences

Parce que je vois pas dutout comment remplir un tableau avec ces informations là

#13 30-10-2020 16:04:07

Mathieuuuuu
Invité

Re : Divisibilité et Congruences

Oublié question "débile"
J'ai finis merci beaucoup

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