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#1 28-10-2020 08:14:35

Lacombe
Invité

Résoudre des équations (maths expertes Tale)

Bonjour, voici mon énoncé d'exercice. Nous venons tout juste de finir le chapitre sur les congruences et la division euclidienne mais je ne vois pas du tout comment l'utiliser ici .

Résoudre les équations suivantes, dans l'ensemble indiqué
a) x*y = 2x +3y, Z x Z
b) 1/x +1/y = 1/5 , Z* x Z*

Pour la a) j'ai essayer de factoriser pour avoir un produit "d'un coté" et un nombre de l'autre
xy = 2x +3y équivaut à xy - 2x - 3y =0
je factorise par x
x(y - 2 -3y/x)=0
je factorise par -3
(x-3)(y/3 - 2/3 - y/x)=0
et là je n'arrive pas à simplifier le second membre.

Merci de votre aiguillage

#2 28-10-2020 19:14:08

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 226

Re : Résoudre des équations (maths expertes Tale)

Bonsoir,

Je n'ai besoin ni de congruence, ni de division euclidienne.
J'ai un système de 2 équations à 2 inconnues :
$\begin{cases}xy &=2x+3y\\\dfrac 1 x + \dfrac 1 y &=\dfrac 1 5\end{cases}$
J'ai résolu ce système par substitution.
La forme de ce système me rappelle ce sujet dont tu peux t'inspirer : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=12994

Va lire et tâche de comprendre, lance-toi dans les calculs et reviens nous faire part de tes avancées.

je factorise par x
x(y - 2 -3y/x)=0

Première étape d'une substitution.
Là, tu es partie pour écrire x en fonction de y, mais fais-le comme ça :
$x(y-2)=3y$ Au passage, tu dois voir ce qui se passe si $y=2...$
$\Leftrightarrow$
$x=\dfrac{3y}{y-2}$.
etc...

@+


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#3 29-10-2020 09:19:29

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 198

Re : Résoudre des équations (maths expertes Tale)

yoshi a écrit :

Bonsoir,

Je n'ai besoin ni de congruence, ni de division euclidienne.
J'ai un système de 2 équations à 2 inconnues :
$\begin{cases}xy &=2x+3y\\\dfrac 1 x + \dfrac 1 y &=\dfrac 1 5\end{cases}$
J'ai résolu ce système par substitution.
La forme de ce système me rappelle ce sujet dont tu peux t'inspirer : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=12994

Va lire et tâche de comprendre, lance-toi dans les calculs et reviens nous faire part de tes avancées.

je factorise par x
x(y - 2 -3y/x)=0

Première étape d'une substitution.
Là, tu es partie pour écrire x en fonction de y, mais fais-le comme ça :
$x(y-2)=3y$ Au passage, tu dois voir ce qui se passe si $y=2...$
$\Leftrightarrow$
$x=\dfrac{3y}{y-2}$.
etc...

@+

Bonjour Yoshi ...

Ce n'est pas un système de 2 équations qui est donné, mais bien 2 équations indépendantes.

Il faut donc résoudre séparément :
xy = 2x + 3y (dans Z²)

et

1/x + 1/y = 1/5 (dans Z*²)

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#4 29-10-2020 10:05:05

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 226

Re : Résoudre des équations (maths expertes Tale)

RE,

Effectivement les mentions a) et b) m'avaient échappées
Dommage,
j'avais une solution unique... ^_^

Bon  par exemple, alors partir de :
a) $y =\dfrac{2x}{x-3}$
    Ecrire $ y$ sous la forme  $y=a+\dfrac{b}{x-3}$ avec $a,b \in \mathbb Z$

b) $y =\dfrac{5x}{x-5}$
Même idée.

J'avais aussi zappé :

xy = 2x +3y équivaut à xy - 2x - 3y =0
je factorise par x
x(y - 2 -3y/x)=0
je factorise par -3
(x-3)(y/3 - 2/3 - y/x)=0

Le résultat de ta factorisation par -3 m'inquiète grandement...

@+


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#5 29-10-2020 10:06:36

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 198

Re : Résoudre des équations (maths expertes Tale)

Bonjour,

Je tente la résolution du b ... à titre d'exemple.

1/x + 1/y = 1/5

5x + 5y = xy

donc comme 5 est premier; on a forcément x et/ou y multiple de 5
Comme x et y sont interchangeables dans l'équation, on peut décréter que c'est x le multiple non nul de 5

On a donc x = 5k (avec k dans Z*)

25k + 5y = 5ky
5k + y = ky
y(k-1) = 5k 
y = 5k/(k-1)

et donc, soit y est aussi multiple de 5, soit (k-1) est multiple de 5

si (k-1) est multiple de 5 : k = 5k'+1 et y = (5k'+1)/k' = 5 + 1/k' (ce sui n'est possible que pour k'= -1 ou 1 ... donc y = 4 ou 6)

y = 4 --> x = -20
y = 6 --> x = 30

On a donc comme solutions les doublets (x,y) = (-20 ; 4) , (30 ; 6)  (on peut évidemment croiser les valeurs de x et de y)
Les autres solutions sont avec x ET y des multiples non nuls de 5

5x + 5y = xy
25k1 + 25k2 = 25.k1.k2 (k1 et k2 dans Z*²)
k1 + k2 = k1.k2
k1 = k2/(k2 - 1) ce qui n'est possible que pour k2 = 2 (et k1 = 2) --> x = y = 10

Donc les triplets (x,y) solutions sont :
(-20,4) ; (4 ; -20) ; (30 ; 6) ; (6 ; 30) ; (10 ; 10)
*****
Il y a sûrement des méthodes plus académiques pour trouver les solutions.

EDIT:

Désolé, pas vu le message précédent avant d'envoyer le mien.

Dernière modification par Black Jack (29-10-2020 10:11:00)

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#6 29-10-2020 11:01:46

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 226

Re : Résoudre des équations (maths expertes Tale)

RE,

Tu aurais quand même pu t'abstenir de faire le boulot à sa place et la laisser réfléchir et répondre. : tempère ton enthousiasme ! ^_^

@+


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