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#1 28-10-2020 00:45:06
- Basile 2020
- Invité
valuation p-adique
Bonjour,
Je n'arrive pas à démontrer l'affirmation suivante:
Si la valuation 2-adique d'un entier x vaut k, alors la valuation 2-adique de (1+x)2 - 1 vaut k+1.
Pour moi si valuation 2-adique de x vaut k, alors x=2k * a
et donc (1+x)2- 1 = (1+ 2k * a)2 - 1
soit (1+x)2- 1 = (1 + 2k+1 * a + 22k * a2) - 1
= 2k+1*(a + 2k-1*a2).
Mais j'aimerai avoir votre avis.
Merci pour votre aide.
#2 28-10-2020 06:38:02
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : valuation p-adique
Bonjour
Il faut préciser que a n'est pas pair et que $a+2^{k-1}a^2$ n'est pas pair sinon tu dois remplacer vaut k par vaut au moins k dans ce que tu dis
Cdt
FB
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#3 28-10-2020 08:19:41
- Basile 2020
- Invité
Re : valuation p-adique
Bonjour,
Merci Fred pour ta réponse.
Effectivement, il faut que a et a + 2k-1 a2 = a(2k-1a-1) ne soit pas pairs.
Sinon, le reste de la démonstration parait correct?
Merci
Basile
#4 28-10-2020 08:38:17
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : valuation p-adique
Oui!
Hors ligne
#5 28-10-2020 08:44:56
- Basile2020
- Invité
Re : valuation p-adique
Merci.
#6 27-01-2024 18:23:36
- haddadi
- Invité
Re : valuation p-adique
Soit $ k=v(x) $ valuation 2-adique de l'entier $ x $
Posons $ m=v((1+x)^2-1) $ valuation 2-adique de l'entier $ y = (1+x)^2-1 $
Donc $x =2^k a$ avec $a=2m+1$ (impair)
3 cas se présentent:
$ k=0 $ pour les x impairs --> $ m=v(y)=0=k $
$ k=1 $ --> $ m=v(y)=k+1+k' > 2 $ car le facteur $ (a+1) $ est pair donc $ a+1 =2^{k'} b $ avec b impair
$ k>1 $ --> $ m=v(y)=k+1 $
Par conséquent, l'énoncé doit être plus précis (maths obligent) .... pour tout k>1
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