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#1 27-10-2020 23:08:55
- Fiona
- Invité
Entiers relatifs
Bonjour !
Voici l'énoncé d'un DM de Maths expertes où je bloque:
1) On souhaite déterminer les entiers relatifs n tels que n+7 divise n^2+7
a. En utilisant l'expression n^2+7-(n^2-49), montrer que si n+7 divise n^2+7, alors n+7 divise 56
b. En déduire les réponses au problème posé
2) En s'inspirant de la méthode précédente, montrer qu'il y a toujours au moins quatre entiers relatifs n tels que n+δ divise n^2+δ, où δ est un entier relatif non nul.
Pour la a, j'ai fait : n+7/n^2+7-(n^2-49)
n+7/n^2+7-n^2+49
n+7/56
A partir de la b, je ne vois pas comment procéder :/
Merci d'avance pour votre aide !
#2 27-10-2020 23:56:41
- Fiona
- Invité
Re : Entiers relatifs
J'ai finalement réussi la question b. Vu que les diviseurs de 56 sont -56, -28, -14, -8, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56; j'ai n qui prend comme valeurs -63, -35, -21, -15, -14, -11, -9, -8, -6, -5, -3, 0, 1, 7, 21, 49; en faisant à chaque fois n+7=-56, n+7=-28 etc...
Pour la 2), j'ai une piste qui je pense est juste: n+δ/n^2-δ^2. Comme n+δ/n^2+δ, alors n+δ/(n^2+δ)-(n^2-δ^2)
n+δ/δ+δ^2
n+δ/δ(δ+1)
Et après... ? :/
#3 31-10-2020 15:15:34
- F_Adrien
- Membre
- Inscription : 16-10-2020
- Messages : 6
Re : Entiers relatifs
Bonjour !
Voici l'énoncé d'un DM de Maths expertes où je bloque:
1) On souhaite déterminer les entiers relatifs n tels que [tex]n+7[/tex] divise [tex]n^2+7[/tex] :
a. En utilisant l'expression [tex]n^2+7-\left(n^2-49\right)[/tex], montrer que si [tex]n+7[/tex] divise [tex]n^2+7[/tex], alors [tex]n+7[/tex] divise [tex]56[/tex].
b. En déduire les réponses au problème posé.
2) En s'inspirant de la méthode précédente, montrer qu'il y a toujours au moins quatre entiers relatifs [tex]n[/tex] tels que [tex]n+\delta[/tex] divise [tex]n^2+\delta[/tex], où [tex]\delta[/tex] est un entier relatif non nul.[tex]\left[\ldots\right][/tex]
Merci d'avance pour votre aide !
Dernière modification par yoshi (31-10-2020 15:33:05)
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#4 01-11-2020 13:05:27
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Entiers relatifs
J'ai finalement réussi la question b. Vu que les diviseurs de 56 sont -56, -28, -14, -8, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56; j'ai n qui prend comme valeurs -63, -35, -21, -15, -14, -11, -9, -8, -6, -5, -3, 0, 1, 7, 21, 49; en faisant à chaque fois n+7=-56, n+7=-28 etc...
Et après... ? :/
Salut,
ce que tu dis est faux, il faut réfléchir un peu plus d'autant que la question 2 donne l'information selon laquelle tu ne peux trouver que 4 occurrences (hormis n=0, bien entendu). Je pense que la mention "entier relatif" est erronée, il faut parler d'entier naturel. Le sujet n'est pas vraiment clair … ou mal recopié.
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#5 01-11-2020 17:57:40
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 989
Re : Entiers relatifs
Bonjour,
Fiona ne s'est pas remanifestée, va-t-elle repasser par là ?
Le DM ne date pas du 27/10 (en pleine 2e semaine de vacances) et certes n'est pas forcément pour demain mais pourquoi 5 jours de silence ?
1b) On a $n+7$ divise 56
Et si, freddy, l'énoncé demande des entiers relatifs (pas d'erreur) pourquoi vouloir absolument des naturels :
les diviseurs de 56 sont bien $\{\pm 1,\, \pm 2,\, \pm 4,\, \pm 7,\,\pm 8,\,\pm 14\pm 28,\,\pm 56\} $
Donc si
$n+7 =-1$ alors n = -8
$n+7 = 1$ alors n = -6
$n+7 = -2$ alors n = -9
$n+7 = 2$ alors n = -5
$n+7 =-4$ alors n=-11
$n+7= 4$ alors n=-3
etc...
Mais Fiona, tu as zappé le 1a) qui est
$n+7\, |\, n^2+7\;\Longrightarrow\; n+7 \, | \, 56$ en utilisant $(n+7\, |\, n^2+7\;\Longrightarrow\;n+7\, |\, n^2+7-(n^2-49)\;\Longrightarrow\; n+7 \, | \, 56$
Je donne juste une indication.
Tu ne t'es pas demandé :
Pourquoi 49 ? Et pourquoi $n^2-49$ ? D'où sort-il ? (*)
$n^2-49$ s'écrit aussi $(n-7)(n+7)$
Justifie donc que $n+7\,|\, n^2+7\;\Longrightarrow\;n+7\, |\, n^2+7-(n-7)(n+7)$
2) $n+\delta\,|\,\delta(\delta+1)$
Oui.. Pose-toi la question : par quoi es-tu certaine de pouvoir diviser $\delta(\delta+1)$
Lorsque ce sera fait, tu n'auras plus qu'à résoudre $n+\delta =\cdots$
@+
(*)
Rappel
Si a divise b et a divise c alors a divise toute somme algébrique de multiple de a et de multiple de b
Et bien entendu a divise lui-même
Pour a, je prends $n+7$ pour b, je prends $n^2+7$ et pour c, je prends n+7...
A quoi veux-je arriver ? Je veux arriver à n+7 divise un nombre relatif...
Ici, on me le dit : je dois arriver à n+7 divise 56, donc je dois passer de $n^2+7$ à 56, d'où le raccourci de l'énoncé...
qui fait $-n^2$ et $+49$ c'est à dire $-(n^2-49)$...
Alors évidemment tu vas probablement dire $-n^2$ pour éliminer les $n^2$ et +49 pour arriver à 56... Mais pourquoi 56 et pas 58 ou 60 ou.... ????
Voilà pourquoi 56 :
J'amorce la pompe :
1. Je vais éliminer les $n^2$
Si $n+7 \,|\,n^2+7$ alors $n+7 \,|\,n^2+7−n(n+7)$
$n(n+7)$ est bien un multiple de c (c=n+7) et je choisis n pour pouvoir éliminer les $n^2$
Donc
$n+7\,|\,n^2+7−n(n+7) \;\Longrightarrow\;n+7\,|\,n^2+7−n^2-7n \;\Longrightarrow\; n+7\,|\, n^2+7−n^2−7n \;\Longrightarrow\; n+7\,|\,-7n+7$
2. Élimination de -7n sur le même principe :
$n+7\,|\,-7n+7 \;\Longrightarrow\;n+7\,|\,-7n+7 +7(n+7) \;\Longrightarrow\;n+7\,|\,-7n+7 +7n+49 \;\Longrightarrow\;56$
Dernière modification par yoshi (01-11-2020 18:34:43)
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#6 01-11-2020 18:18:14
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Entiers relatifs
Salut l'ami,
Oui, tu as raison, j'ai zappé la référence "au moins quatre" et comme je ne trouvais que 4 entiers naturels positifs, j'ai généralisé hâtivement pour faire entrer les solutions dans ma lecture biaisée ... je reste encore un peu étourdi !
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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