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#1 25-10-2020 17:21:15

Cocomaths
Membre
Inscription : 09-05-2020
Messages : 14

Topologie

Bonjour,

J'ai un exercice où je comprends ce qu'il faut faire mais je n'arrive pas bien à le montrer.
Dans X= R^2, montrer que [tex]T: = \oslash \bigcup{}X  \bigcup{} \left\{B_r((0,0)) |r > 0 \right\}[/tex]  est une topologie.

Je vérifie les trois axiomes :

i) [tex]X,  \oslash \in T[/tex] par définition de [tex]T[/tex]

ii) Soit (U_i)_{i \in I} une famille de T.
Si [tex]U_i= \oslash[/tex] pour tout [tex]i \in I[/tex] alors l'union est [tex]\oslash[/tex] qui est un élément de [tex]T[/tex]
Si [tex]U_i= X[/tex] pour tout [tex]i \in I[/tex] alors l'union est [tex]X[/tex] qui est un élément de [tex]T[/tex]
Si [tex]U_i= \left\{B_r((0,0)) |r > 0 \right\} [/tex] pour tout [tex]i \in I[/tex] alors l'union est [tex]\left\{B_r((0,0)) |r > 0 \right\}[/tex] qui est un élément de [tex]T[/tex]

Mais maintenant comment écrire rigoureusement que si [tex]U_i =  \oslash[/tex] ou [tex]U_i= X[/tex] ou [tex]U_i = \left\{B_r((0,0)) |r > 0 \right\}[/tex] alors [tex]\bigcup_{i}{U_i} \in T[/tex]. Si j'essaye :

S'il existe[tex] i \in I[/tex] tel que [tex] U_i= X[/tex] alors [tex]\bigcup_{i}{U_i}=X \in T[/tex]

Sinon il existe un [tex]i_0\in I [/tex] tel que [tex] U_{i_0} = \oslash[/tex] et pour tout [tex]i \in I[/tex]\ [tex]i_0[/tex] [tex] U_i=\left\{B_r((0,0)) |r > 0 \right\} \in T[/tex]
(Parce que je sais que l'ensemble vide est un ouvert, X est un ouvert et que la boule ouverte est un ouvert et de plus que la réunion quelconque d'ouvert est un ouvert. Mais je sais pas si la rédaction est rigoureuse et juste...

iii) Soient [tex]U_1, U_2 \in T[/tex]
Si [tex]U_1= \oslash[/tex] et [tex]U_2 = X[/tex] alors [tex]U_1\bigcap{}U_2 = \oslash \in T [/tex]
Si [tex]U_1= \oslash[/tex] et [tex]U_2 = \left\{B_r((0,0)) |r > 0 \right\}[/tex] alors [tex] U_1\bigcap{}U_2 = \oslash \in T[/tex] (je ne suis pas sûr)
Si [tex]U_1=X[/tex] et [tex]U_2= \left\{B_r((0,0)) |r > 0 \right\}[/tex] alors [tex]U_1\bigcap{}U_2= \left\{B_r((0,0)) |r > 0 \right\} \in T[/tex]

Voilà je ne suis pas sur de moi dans la rédaction, n'hésitez pas à me reprendre, me corriger et me faire des remarques !

Bonne soirée à toutes et à tous!
Bien cordialement

Hors ligne

#2 25-10-2020 17:56:07

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 172

Re : Topologie

Bonjour !

L'idée est là. Pour le premier point, c'est bon.

Pour le deuxième point : c'est à peu près ça, le seul problème étant dans la disjonction de cas. Il faudrait plutôt procéder comme cela :
- S'il existe $i \in I$ tel que $U_i = X$, alors $\bigcup\limits_{i \in I} U_i = X \in T$ ;
- Sinon : $\forall i \in I$, $U_i \ne X$ :
   - Si : pour tout $i \in I$, $U_i = \varnothing$, alors $\bigcup\limits_{i \in I} = \varnothing \in T$;
   - Sinon, on peut supposer que : $\forall i \in I$, $U_i \ne \varnothing$ (les $U_i = \varnothing$ n'apportent rien. Si on veut le faire proprement, ce que je ne retrouve pas forcément nécessaire, tu peux réindexer tous les $U_i$ non vides par un ensemble $J$.). On a donc que : $\forall i \in I$, $\exists r_i \in \mathbb R_+^*$, $U_i = B_{r_i}((0,0))$. On a alors : $\bigcup\limits_{i \in I} = B_{\max\limits_{i \in I} r_i}((0,0)) \in T$.

Pour l'intersection, c'est correct, tu ne traites pas juste des cas : je ne sais pas si c'est un oubli ou si tu ne l'a pas fait car $U_1$ et $U_2$ ont des rôles symétriques. Si c'est le cas, marque le quand même.

J'espère que c'est clair !

Hors ligne

#3 25-10-2020 19:10:03

Cocomaths
Membre
Inscription : 09-05-2020
Messages : 14

Re : Topologie

Bonsoir !


i) Super

ii) Oui exacte, [tex]\oslash[/tex] nous apporte rien et effectivement je suis d'accord avec vous pour le reste

iii) Oui vous voulez dire par là que par exemple, je dois faire [tex]U_1= \oslash,  U_2=X[/tex] donc [tex]U_1 \bigcap U_2= \oslash \in T[/tex]
et [tex]U_1=X et U_2= \oslash[/tex] donc [tex]U_1 \bigcap U_2= \oslash \in T[/tex]
Mais vous avez raison, je vais écrire que [tex]U_1[/tex] , [tex]U_2[/tex] ont des rôles symétriques !

Je vous remercie  pour votre réponse ! Tout est clair !
Je vous souhaite une bonne soirée

Bien cordialement

Hors ligne

#4 26-10-2020 08:07:55

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 432

Re : Topologie

Salut,

conformément à la définition de base, je crois que tu as oublié la partie "l'intersection d'un nombre fini d'ouverts est un ouvert".

Dernière modification par freddy (26-10-2020 08:08:22)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#5 26-10-2020 09:19:40

Cocomaths
Membre
Inscription : 09-05-2020
Messages : 14

Re : Topologie

Bonjour,

Mais est-ce nécessaire de le marquer vu qu'on sait ce que vaut l'intégrale. Par exemple :
[tex]U_1=  \oslash[/tex] et [tex]U_2= X[/tex] alors [tex]U_1 \bigcap U_2 = \oslash[/tex] et on sait que [tex]\oslash[/tex] est un ouvert et même qu'il appartient à [tex]T[/tex]

Merci d'avance !

J'ai une question pour rebondir sur ce sujet aussi. Si je veux déterminer dans [tex](X,T)[/tex] avec je rappelle [tex]X=R^2[/tex] et [tex]T[/tex] défini comme plus haut, l'adhérence et l'intérieur par exemple de[tex] A=[/tex] [tex]R^2[/tex]\ [tex]\left\{(0,0) \right\}[/tex].

On "voit" bien que c'est un ouvert parce que son complémentaire [tex]A^c[/tex] c'est le singleton [tex]\left\{(0,0) \right\}[/tex] qui est fermé. Pas du tout, je reprends !
On "voit" que [tex]A[/tex]  est un ouvert parce que c'est [tex]R^2[/tex] privé d'un point. Après je n'arrive pas à l'écrire mathématiquement. Si c'était [tex]R[/tex], j'aurais pu écrire : [tex]A= ]-\infty, 0[ U ]0, +\infty[[/tex]
Peut-on alors dire que vu que [tex]A[/tex] est un ouvert alors [tex]A=A^°[/tex] où [tex]A^°[/tex] désigne l'intérieur
Et [tex]\bar{A} = R^2[/tex].

En fait je ne sais pas si [tex](X,T)[/tex] sert à quelque chose pour déterminer l'adhérence et l'intérieur.

De même si note [tex]B=[/tex] { [tex](x,y) \in R^2 | xy \neq 1[/tex] }.
On voit bien que B est un ouvert donc [tex]B=B^°[/tex] mais [tex]\bar{B} = ?[/tex] je pense à [tex]R^2[/tex] mais je n'arrive pas à le montrer

Dernière modification par Cocomaths (26-10-2020 16:46:52)

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