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#1 04-10-2020 12:51:00

Hamala
Membre
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Messages : 8

Système linéaire

Salut svp jai un exo de système linéaire que j'arrives pas à résoudre j'ai besoin de votre aide messieurs.
Bon le système est :
x/y + y /x =2xy
x + y + xy =0
Merci d'avance désolé j'arrive pas à faire l'accolade sur mon téléphone

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#2 04-10-2020 14:19:49

yoshi
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Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 226

Re : Système linéaire

Salut,

Qu'as-tu déjà essayé ?

@+


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#3 05-10-2020 07:28:39

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 226

Re : Système linéaire

Re,

Et si tu essayais une résolution par substitution, par ex écrire $y$ en fonction de $x$ pour te retrouver avec une équation du 2nd degré en $x$ ?

@+


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#4 05-10-2020 13:31:38

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 15 226

Re : Système linéaire

Bonjour,

Pierre, ici la règle est de ne pas donner la solution sans que le demandeur ait travaillé comme écrit dans nos Règles :

* Notre but étant de vous aider à résoudre vos difficultés, et non de faire les exercices à votre place, ne postez pas le sujet d'un exercice sans montrer que vous y avez travaillé : il n'y serait probablement pas répondu. A vous d'expliquer ce que vous avez déjà fait, là où vous bloquez, et pourquoi...

Je viens de finir de rédiger la solution complète que je garde sous le coude...

@+

[EDIT]Désolé, le message de Pierre a disparu : il l'a probablement supprimé...

Dernière modification par yoshi (05-10-2020 13:32:48)


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#5 06-10-2020 17:13:55

48PierrelePetit
Membre
Inscription : 17-09-2020
Messages : 78

Re : Système linéaire

Bonsoir
J'ai effectivement supprimé ma réponse.
Pour aider: trouver un moyen d'enlever les divisions sur la première équation, remarquer que la deuxième équation donne x+y=-xy, trouver la valeur de xy et le problème devient trouver la somme x+y quand on connait le produit xy.

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#6 06-10-2020 18:41:24

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 226

Re : Système linéaire

RE,

Pour aider:

Parce que ce que propose ne te convient pas ? n'aide pas ?
Sinon, pourquoi proposer une autre piste (qui celle-là cette fois, amène aussi aux bons résultats) ?

Je n'ai jamais cru que proposer deux méthodes différentes l'une derrière l'autre - et dans ma carrière, je ne l'ai jamais fait - sans attendre  de voir si la première était comprise ou pas était une bonne politique...

@+


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#7 06-10-2020 20:14:15

48PierrelePetit
Membre
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Messages : 78

Re : Système linéaire

Bonne nuit
J"ai oublié de dire qu'il faut aussi se rappeler le développement de (x+y)2
Je ne comprend pas pourquoi yoshi tu  sembles m'en vouloir, où ais-je fauté?
A plus

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#8 22-10-2020 12:07:30

yoshi
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Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 226

Re : Système linéaire

Bonjour,

Hamala étant aux abonnés absents depuis 18 jours, et n'ayant pas demandé d'aide ailleurs, je présume que
1. On ne le reverra pas,
2. Il a dû réussir à se débrouiller sans nous, ce qui est aussi bien pour lui dans la perspective de son avenir.

Je poste donc les solutions au cas où quelqu'un passe par là dans l'avenir aux prises avec le même souci.

                                     --------------------------------------
Résoudre :
$\begin{cases}\dfrac x y + \dfrac y x &= 2xy\\x+y+xy &=0\end{cases}$

J'explicite les 2 méthodes (en Code Latex, ce que tout intervenant régulier devrait s'attacher à faire, fréquemment des élèves de 2nde/1ere nous montrent que ce n'est pas si difficile...)

$x+y+xy=0\;\Leftrightarrow\; y(1+x)=-x\;\Leftrightarrow\;y=-\dfrac{x}{x+1}\; \text{ et } x\neq -1$
1. Peut-on avoir $x =-1$ ?
    La première équation deviendrait
   $ -\dfrac 1 y -y =-2y\;\Leftrightarrow\;1+y^2=2y^2\;\Leftrightarrow\;y^2=1$ et $y=\pm 1$
   Soit 2 réponses :$\{(-1,-1) , (-1,1)\}$
   Que je teste dans la 2e équation :
   a) $(x,y)=(-1,-1)$ d'où $-1-1+(-1)(-1)=0\;\Leftrightarrow\;-1 =0 \text{ impossible }$
   b) $(x,y)=(-1,1)$ d'où $-1+1+(-1)\times 1=0\;\Leftrightarrow\;-1 =0 \text{ impossible }$
   Si x =-1 pas de solution.

2. Donc $x\neq -1$
   Alors j'ai le droit d'écrire    $y=-\dfrac{x}{x+1}$ que je reporte dans la première équation:
   
   $ -\dfrac{x}{\dfrac{x}{x+1}}-\dfrac{\dfrac{x}{x+1}}{x}=2x\times \left(-\dfrac{x}{x+1}\right)\;\Leftrightarrow\;-x-1-\dfrac{1}{x+1}=-\dfrac{2x^2}{x+1}\;\Leftrightarrow\;x+1+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2x^2}{x+1}$
   En multipliant les deux membres par $(x+1)$ on obtient :
    $(x+1)^2+1=2x^2\;\Leftrightarrow\;$$x^2-2x-2=0$
    $\Delta =(-2)^2-4\times(-2)=12 =(2\sqrt  3)^2$
    D'où
    $x_1,x_2=\dfrac {2\pm 2\sqrt 3}{2}=1\pm \sqrt 3$
     Si $x=1-\sqrt 3$ alors $y=-\dfrac{1-\sqrt 3}{1-\sqrt 3+1}=\dfrac{(-1+\sqrt 3)(2+\sqrt 3)}{(2-\sqrt 3)(2+\sqrt 3)}=1+\sqrt 3$
     solution $(1-\sqrt3,1+\sqrt 3)$
     Le système  étant parfaitement symétrique en x et y, la 2e solution est
    $(1+\sqrt3,1-\sqrt 3)$

--------------------------------------------------------------------------------------------

Méthode proposée par 48PierrelePetit.

De la 2e équation, il vient :
$x+y+xy=0 \;\Leftrightarrow\;x+y=-xy \;\Leftrightarrow\;(x+y)^2=x^2y^2$
On développe et réduit :
$(x+y)^2=x^2y^2\;\Leftrightarrow\;x^2+2xy+y^2=x^2y^2$ (1)

On multiplie les deux membres de la première équation par $xy$ (vu la forme, on admet que $x\neq 0\;\text{ et }\;y\neq 0$) :
$x^2+y^2=2x^2y^2$
On remplace $x^2+y^2$ par $2x^2y^2$ dans l'équation (1) :
$x^2+2xy+y^2=x^2y^2\;\Leftrightarrow\;2x^2y^2+2xy=x^2y^2\;\Leftrightarrow\;x^2y^2+2xy=0$
On factorise :
$x^2y^2+2xy=0\;\Leftrightarrow\;xy(xy+2)=0$
Puisque $x\neq 0\;\text{ et }\;y\neq 0$ alors $xy\neq 0$
Donc, seule solution de l'équation-produit ci-dessus : $xy=-2$
Or, il a été dit plus haut que $x+y=-xy$ d'où $x+y=2$
A ce stade, soit on résout le système $\begin{cases} x + y&= 2\\xy&=-2\end{cases}$ et on arrive à l'équation : $x^2-2x-2=0$

Soit après avoir posé $S=x+y=2$ et $P=xy=-2$  oin sait que x et y sont les solutions de l'équation
$X^2-SX+P=0$, soit de $x^2-2x-2=0$
La suite rejoint alors mon calcul des solutions.

Choix entre les 2 méthodes : laquelle est la plus "simple" ?
J'avais testé les 2 méthodes et opté pour la première... Affaire de goût.

Cela dit, moi, modérateur, je n'apprécie que modérément (même si ça ne figure pas dans nos Règles), que quelqu'un (qui ce soit) ayant répondu, un 2e interlocuteur se "précipite" pour proposer sa solution, sauf évidemment si la réponse est entachée d'erreur manifeste.
Je trouve, d'un point de vue pédagogique, le procédé de nature à embrouiller le demandeur qui est déjà assez embarrassé comme ça par le sujet sans en rajouter...
Donnons-lui le temps de se manifester et de voir ce qu'il comprend ou ne comprend pas.
Bien évidemment, une fois le travail achevé ou pratiquement terminé, une 2e voire une 3e réponse sont les bienvenues...
Si un autre aidant intervient dans la discussion, pour prendre la suite du 1er dans l'esprit de ce qui a été proposé, pas de pb !
Personnellement, adepte de "Ne fais pas aux autres ce que tu ne veux pas qu'ils te fassent", je me suis toujours attaché à laisser le 1er aidant terminer ses interventions, encore une fois sauf erreur de calcul manifeste (personne n'est infaillible) ou lecture indiscutablement incorrecte de l'énoncé...

Mais tout ceci reste purement académique vu la réactivité du demandeur...

@+


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