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#1 20-10-2020 11:20:34

GrosseQuicheEnMaths
Invité

Table de vérité

Bonjour,

Mon prof m'a demandé de montrer que [tex]\left(\mathcal{P}(E),_\vartriangle\right)[/tex] où [tex]\mathcal{P}(E)[/tex] est l'ensemble des parties d'un ensemble [tex]E[/tex] et [tex]\vartriangle[/tex] l'opération différence symétrique définie par : [tex]\forall A,B \in \mathcal{P}(E), A \vartriangle B = A \bigcup B \ A \bigcap B[/tex] est un groupe commutatif.

Mon problème est la preuve de l'associativité de la loi : [tex] (A \vartriangle B) \vartriangle C = A \vartriangle (B \vartriangle C)[/tex].

Je commence, naïvement, par faire un croquis et j'en déduis que $x \in A \vartriangle B$ implique $x \in A$ ou $x \in B$ où le ou est exclusif.
Ainsi l'associativité est acquise selon les trois cas d'appartenance à A, B ou C.

Mon prof fait une table de vérité.

En quoi sa preuve est-elle plus légitime ? Parce qu'il y a des 1 et des 0 dans une table ?

Certes, il balaye tous les cas d'appartenance mais je ne suis pas convaincu que ce soit plus rigoureux !

Merci pour votre aide.

#2 20-10-2020 12:39:35

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 742

Re : Table de vérité

Bonjour,

  Simplement parce que parfois les dessins peuvent être trompeurs. Un raisonnement formalisé garantit une rigueur plus grande.

F.

Hors ligne

#3 22-10-2020 08:48:41

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 40

Re : Table de vérité

Bonjour,

Là aussi l'algèbre vient simplifier ( énormément ) les calculs si tu utiles les fonctions caractéristiques des parties puisqu'on calcule
avec des 0 et des 1.
A connaître absolument si tu as le temps d'y voir un peu de ce côté-là.

Elles ont d'ailleurs plein d'autres applications, notamment en dénombrement, en analyse ( l'exemple qui me vient à l'esprit est celle
des fonctions étagées en théorie de la mesure, qui permettent d'introduire l'intégrale de Lebesgue, les fonctions étagées sont une extension des fonctions en escalier, elles sont les combinaisons linéaires de fonctions caractéristiques mesurables ) mais c'est une autre histoire
( plutôt passionnante ).
En dénombrement, entre autres résultats, le nombre de parties d'un ensemble fini E est en bijection avec les applications de E dans { 0,1}.
Sauf erreur, il me semble aussi que la différence symétrique de n parties distinctes est l'ensemble des des éléments appartenant à un nombre impair de ces parties ( à vérifier ).

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