Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 19-10-2020 19:36:35

Naj
Invité

Theorie des groupes

Bonjour , j'ai une petite question concernant une prépa .
Au début d'un exo , il demande de démontrer que P(E) muni de la difference symetrique forme un groupe ... ce que j'ai démontré.
Mais la question suivante est : nous allons admettre qu'il existe toujours une bijection entre un ensemble fini E et l'ensemble fini de ses sous ensembles ... demontre qu'il existe toujours une loi de composition interne telle que (E, o) est un groupe. 
Qqn aurait il une idée,  sur comment résoudre ça ?

#2 19-10-2020 19:53:42

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 920

Re : Theorie des groupes

Bonsoir,

Naj a écrit :

Nous allons admettre qu'il existe toujours une bijection entre un ensemble fini E et l'ensemble fini de ses sous ensembles

Cette hypothèse me dérange un peu car elle est fausse (les cardinaux de $E$ et de $\mathcal P(E)$ ne sont jamais égaux).
Alors, bien sûr on peu faire cette hypothèse, mais on pourra probablement en déduire que $0=1$.

Roro.

Hors ligne

#3 22-10-2020 08:10:05

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 40

Re : Theorie des groupes

Bonjour,

Compte-tenu de l'hypothèse ( fausse ) , au travers de la bijection supposée, on peut transporter la loi différence symétrique sur P(E) sur E, ce qui est un procédé classique ( et naturel ). Les propriétés du magma ( en l'occurrence  un groupe ici ) se transmettent intégralement à E.
En particulier ( par exemple ) , on aura sur E une loi de groupe telle que pour tout x de E, x * x = e puisque c'est la cas avec la différence symétrique.
Ce qui amène à dire que si l' hypothèse était vraie, on pourrait munir tout ensemble fini non vide d'une loi de groupe ( pas un scoop puisque
tu pourrais de toute façon par transport depuis un autre groupe fini, en faire autant) mais là tout x serait son propre inverse, et en particulier aussi  E muni de la loi serait abélien ( propriété facile ) et on peut montrer que le cardinal de E serait d'ailleurs une puissance de 2.

On aboutit évidemment à une absurdité, en prenant E fini de cardinal égal à 3.
Cela montre indirectement qu'un ensemble fini ( non vide pour pouvoir faire le travail précédent  ) n'est pas en bijection avec l'ensemble de ses parties... Si E est vide ( cardinal 0 ), P(E) est de cardinal 1, c'est vrai aussi, sans passer par les groupes.

L'algèbre permet donc de réfuter des propositions purement ensemblistes.

Cordialement,
Alain

Hors ligne

#4 22-10-2020 08:25:25

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 40

Re : Theorie des groupes

Re-bonjour,

Si E fini est de cardinal une puissance de 2, l'  hypothèse de départ est bien-sûr encore fausse , cependant il est peut-être
possible ( à voir, selon la taille de E ) que E puisse  être muni d'une loi qui en fasse un groupe isomorphe à un sous-groupe de P(E) muni de la différence symétrique .
Pas garanti tout de même, mais la condition sur le cardinal reste néanmoins nécessaire avant d'investiguer la question.
De toute façon, même sans calcul détaillé, puisque le cardinal de P(E) est toujours une puissance de 2, et que l'ordre d'un sous-groupe
divise toujours l'ordre du groupe, on retrouve ainsi ( théorème de Lagrange ) en condition nécessaire que le cardinal de E doit être une puissance de 2 puisque son image isomorpe dans P(E) doit diviser une puissance de 2.

Hors ligne

Pied de page des forums