Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 11-10-2020 15:38:11

manth
Membre
Inscription : 19-09-2020
Messages : 8

Norme d'opérateur

Bonjour,

Je dois résoudre cet exercice :

Soit [tex]T[/tex] une application linéaire définie sur [tex]L^{2}([0,1])[/tex] telle que : $Tf(x)= \displaystyle{ \int^{1}_{0} (x+y)f(y) \mathop{dy}}, 0 \leq x \leq 1$.
Montrer que T est bornée et calculer [tex]\mid \mid T \mid \mid[/tex].

J'ai déjà fait la première partie de l'exercice et j'ai montré que [tex]\mid\mid T \mid\mid \leq \sqrt(\frac{7}{6})[/tex].

Pour la deuxième partie (calculer [tex]\mid\mid T \mid\mid[/tex]), j'essaye de trouver une fonction/ou suite de fonction telle que l'opérateur T appliqué a la limite (dans le cas de la suite de fonction) ou la fonction bien choisie, tende vers [tex]\sqrt(\frac{7}{6})[/tex].

J'en appelle donc à vos commentaires sur :
1) l'efficacité de ce raisonnement dans le cadre de l'exercice : est-ce que je passe à côté de quelque chose de plus "direct"?
2) d'éventuelles suggestions d'une telle fonction/suite de fonctions.

Merci par avance,
H

Dernière modification par manth (11-10-2020 15:44:10)

Hors ligne

#2 11-10-2020 21:24:47

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 742

Re : Norme d'opérateur

Bonjour,

  Je ne pense pas que tu rates quelque chose. En général, on regarde où on a utilisé des inégalités, et on essaie de trouver une fonction qui "sature" ces inégalités. Le problème ici est que tu as utilisé Cauchy-Schwarz et pour avoir égalité, on a une fonction qui dépend de $x$.
Tout cela pour te dire que cela ne me semble pas du tout évident de calculer $\|T\|$ et que je serai ravi de savoir comment on fait s'il y a une solution facile.

F.

Hors ligne

#3 12-10-2020 14:12:39

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 742

Re : Norme d'opérateur

Re-

  J'ai réfléchi 5 minutes de plus, et je pense que j'ai une méthode (pas si facile, mais bon). En réalité, ton opérateur est de rang 2.
Si tu poses $E=\textrm{vect}(1,x)$, il est facile de voir que $T(L^2)\subset E$.
Ton opérateur est aussi auto-adjoint, et on a $T(E^\perp)=\{0\}$ (facile à vérifier à la main). Donc finalement, tu n'as qu'à considérer $T$ comme opérateur de $E$ dans $E$ pour calculer sa norme. Et là, comme tu as affaire à des espaces de dimension 2, c'est forcément faisable à la main. Par exemple, tu cherches une base orthonormée de $E$....

F.

Hors ligne

#4 13-10-2020 12:10:31

manth
Membre
Inscription : 19-09-2020
Messages : 8

Re : Norme d'opérateur

Bonjour,

Merci beaucoup d'avoir pris le temps pour y réfléchir.

Je vais regarder plus en détail ce que vous avez écrit.

Si il y a une solution plus "directe", je la communiquerai sous ce post par la suite, on sait jamais, ça peut aider d'autres personnes qui tombent sur cet exercice et qui ne savent pas comment le résoudre.

Merci encore,
H

Hors ligne

#5 21-10-2020 14:00:08

manth
Membre
Inscription : 19-09-2020
Messages : 8

Re : Norme d'opérateur

Voici une manière de répondre à l'exercice.

L'idée principale est de calculer l'adjoint de l'opérateur, afin de montrer que l'opérateur est auto-adjoint.
De là on a un théorème qui nous dit que le rayon spectral de T est égal à la norme de T, donc on calcule les valeurs propres.

1) Les calculs sont "directs" pour montrer que l'opérateur est auto-adjoint.
2) Les valeurs propres sont [tex]\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex] et [tex]\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex], donc le rayon spectral est [tex]\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex].

Ainsi, par le théorème énoncé précedemment, on a [tex]\mid \mid T \mid \mid = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex].

Dernière modification par manth (21-10-2020 14:04:33)

Hors ligne

#6 22-10-2020 07:11:59

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 742

Re : Norme d'opérateur

Merci!

Hors ligne

Pied de page des forums