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#1 18-10-2020 18:19:47

DavidBe
Membre
Inscription : 10-05-2020
Messages : 58

Anneau de fonctions

Bonjour !

J'ai quelques petites difficultés sur les anneaux de fonctions.

Si je prends un anneau de fonction simple : [tex]A=C^0([0,1])[/tex]

Si je veux trouver [tex] A^\times[/tex].

Si je reviens à la définition du cours, [tex]A^\times[/tex] c'est l'ensemble des éléments inversibles de [tex]A[/tex].

Soit [tex]f\in A[/tex], alors [tex]f[/tex] est inversible s'il existe [tex]g \in A[/tex] tel que [tex]fg=gf=1[/tex]

Jusque que là tout va bien.

Mais du coup, si [tex]g=f^{-1}[/tex] alors [tex] f.f^{-1}=f^{-1}.f=1[/tex]

or [tex]f[/tex] est continue sur [tex][0,1][/tex] donc [tex]f^{-1}[/tex] est continue sur [tex][0,1][/tex]

Donc [tex] A^\times =A\ \left\{0 \right\}[/tex]

En fait je ne sais pas si mon explication est rigoureuse ...

Et si maintenant je prends les idéaux les plus "naturelles" donc [tex]I_x= \left\{{f \in A| f(x) = 0} \right\}[/tex] et je veux montrer rigoureusement que s'en est un.

Je commence par montrer que [tex]I_x[/tex] est un sous groupe de [tex]A[/tex]

1) [tex]0\in I_x[/tex] donc  [tex]I_x[/tex] est différent de l'ensemble vide

2) montrons que pour tout [tex]g,h\in I_x, g-h\in I_x[/tex]
[tex]g,h\in I_x[/tex] on a donc [tex]g(x)=0[/tex] et [tex]h(x)=0[/tex]
d'où [tex]g(x)-h(x)=0[/tex] donc[tex] g-h \in I_x[/tex]

Ensuite, je montre que pour tout [tex]f\in A[/tex] et pour tout [tex]g\in I_x , fg\in I_x[/tex]

Soit [tex]g\in I_x[/tex]  alors [tex]g(x)=0[/tex] d'où [tex]fg=0 \in I_x[/tex]

Donc [tex]I_x[/tex] est un idéal de A.

Voilà, j'essaye de m'améliorer sur la rédaction. Par conséquent, s'il y a des choses mal dites je veux bien que vous guidez/conseillez/corrigez.

Je vous remercie !

Bonne soirée à tous !

Hors ligne

#2 18-10-2020 20:13:56

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 914

Re : Anneau de fonctions

Bonjour,

DavidBe a écrit :

Mais du coup, si [tex]g=f^{-1}[/tex] alors [tex] f.f^{-1}=f^{-1}.f=1[/tex]

Je ne comprend pas ce que tu appelles $f^{-1}$. Enfin, justement je crois comprendre que c'est l'application $x\mapsto \frac{1}{f(x)}$ ?
Dans ce cas, tu vois rapidement que celle-ci n'est pas toujours bien définie...

Pour le reste (concernant l'idéal), je suis OK.

Roro.

Hors ligne

#3 19-10-2020 09:23:28

DavidBe
Membre
Inscription : 10-05-2020
Messages : 58

Re : Anneau de fonctions

Bonjour,

Oui effectivement je vois le soucis. En fait dans ma tête je cherchais une fonction [tex]g[/tex] tel que [tex]f.g=1[/tex]
Mais c'est vrai que si [tex]g=f^{-1}[/tex] qui est l'application inverse alors ça ne va pas. Parce que si f(x)=0 alors ce n'est pas défini...
Donc [tex]A^\times= A \setminus \left\{0 \right\}[/tex] ?

En effet, je ne voix pas autre chose qui ne pourrait pas être défini

Dernière modification par yoshi (19-10-2020 11:52:09)

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#4 19-10-2020 16:00:26

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 914

Re : Anneau de fonctions

Bonsoir,

Il y a encore un soucis dans ta réponse.

Pour que tu la découvres toi-même peux-tu me dire ce que signifie exactement l'expression "... si f(x)=0 alors ..." que tu as utilisée ?

Roro.

Dernière modification par Roro (19-10-2020 16:00:49)

Hors ligne

#5 19-10-2020 16:54:39

DavidBe
Membre
Inscription : 10-05-2020
Messages : 58

Re : Anneau de fonctions

Bonsoir,

L'expression "si f(x)=0 " signifie que 0 est l'image de x par f.
Dans mon cas, il faut alors que trouve tous les x tels que f(x)=0

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#6 19-10-2020 20:18:03

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 914

Re : Anneau de fonctions

Bonsoir,

Ce que je veux dire c'est qu'il ne faut pas confondre
  - la fonction nulle qui vérifie : $\forall x \in [0,1] \quad f(x)=0$ et
  - une fonction qui s'annule : $\exists x \in [0,1] \quad f(x)=0$.
L'ensemble des inversibles de $A$ est l'ensemble des fonctions qui ne s'annulent pas :
$$A^\times = \{f\in A \, ;\, \forall x \in [0,1] \quad f(x)\neq 0\}.$$

Roro.

Hors ligne

#7 19-10-2020 22:23:31

DavidBe
Membre
Inscription : 10-05-2020
Messages : 58

Re : Anneau de fonctions

Bonsoir !

Oui en effet, je vous remercie de m'avoir éclairé et guidé.
J'ai tout compris !

Je vous souhaite une bonne soirée,
Bien cordialement

Hors ligne

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