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#1 18-10-2020 19:19:47
- DavidBe
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- Messages : 58
Anneau de fonctions
Bonjour !
J'ai quelques petites difficultés sur les anneaux de fonctions.
Si je prends un anneau de fonction simple : [tex]A=C^0([0,1])[/tex]
Si je veux trouver [tex] A^\times[/tex].
Si je reviens à la définition du cours, [tex]A^\times[/tex] c'est l'ensemble des éléments inversibles de [tex]A[/tex].
Soit [tex]f\in A[/tex], alors [tex]f[/tex] est inversible s'il existe [tex]g \in A[/tex] tel que [tex]fg=gf=1[/tex]
Jusque que là tout va bien.
Mais du coup, si [tex]g=f^{-1}[/tex] alors [tex] f.f^{-1}=f^{-1}.f=1[/tex]
or [tex]f[/tex] est continue sur [tex][0,1][/tex] donc [tex]f^{-1}[/tex] est continue sur [tex][0,1][/tex]
Donc [tex] A^\times =A\ \left\{0 \right\}[/tex]
En fait je ne sais pas si mon explication est rigoureuse ...
Et si maintenant je prends les idéaux les plus "naturelles" donc [tex]I_x= \left\{{f \in A| f(x) = 0} \right\}[/tex] et je veux montrer rigoureusement que s'en est un.
Je commence par montrer que [tex]I_x[/tex] est un sous groupe de [tex]A[/tex]
1) [tex]0\in I_x[/tex] donc [tex]I_x[/tex] est différent de l'ensemble vide
2) montrons que pour tout [tex]g,h\in I_x, g-h\in I_x[/tex]
[tex]g,h\in I_x[/tex] on a donc [tex]g(x)=0[/tex] et [tex]h(x)=0[/tex]
d'où [tex]g(x)-h(x)=0[/tex] donc[tex] g-h \in I_x[/tex]
Ensuite, je montre que pour tout [tex]f\in A[/tex] et pour tout [tex]g\in I_x , fg\in I_x[/tex]
Soit [tex]g\in I_x[/tex] alors [tex]g(x)=0[/tex] d'où [tex]fg=0 \in I_x[/tex]
Donc [tex]I_x[/tex] est un idéal de A.
Voilà, j'essaye de m'améliorer sur la rédaction. Par conséquent, s'il y a des choses mal dites je veux bien que vous guidez/conseillez/corrigez.
Je vous remercie !
Bonne soirée à tous !
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#2 18-10-2020 21:13:56
- Roro
- Membre expert
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Re : Anneau de fonctions
Bonjour,
Mais du coup, si [tex]g=f^{-1}[/tex] alors [tex] f.f^{-1}=f^{-1}.f=1[/tex]
Je ne comprend pas ce que tu appelles $f^{-1}$. Enfin, justement je crois comprendre que c'est l'application $x\mapsto \frac{1}{f(x)}$ ?
Dans ce cas, tu vois rapidement que celle-ci n'est pas toujours bien définie...
Pour le reste (concernant l'idéal), je suis OK.
Roro.
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#3 19-10-2020 10:23:28
- DavidBe
- Membre
- Inscription : 10-05-2020
- Messages : 58
Re : Anneau de fonctions
Bonjour,
Oui effectivement je vois le soucis. En fait dans ma tête je cherchais une fonction [tex]g[/tex] tel que [tex]f.g=1[/tex]
Mais c'est vrai que si [tex]g=f^{-1}[/tex] qui est l'application inverse alors ça ne va pas. Parce que si f(x)=0 alors ce n'est pas défini...
Donc [tex]A^\times= A \setminus \left\{0 \right\}[/tex] ?
En effet, je ne voix pas autre chose qui ne pourrait pas être défini
Dernière modification par yoshi (19-10-2020 12:52:09)
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#4 19-10-2020 17:00:26
- Roro
- Membre expert
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- Messages : 1 565
Re : Anneau de fonctions
Bonsoir,
Il y a encore un soucis dans ta réponse.
Pour que tu la découvres toi-même peux-tu me dire ce que signifie exactement l'expression "... si f(x)=0 alors ..." que tu as utilisée ?
Roro.
Dernière modification par Roro (19-10-2020 17:00:49)
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#5 19-10-2020 17:54:39
- DavidBe
- Membre
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- Messages : 58
Re : Anneau de fonctions
Bonsoir,
L'expression "si f(x)=0 " signifie que 0 est l'image de x par f.
Dans mon cas, il faut alors que trouve tous les x tels que f(x)=0
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#6 19-10-2020 21:18:03
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 565
Re : Anneau de fonctions
Bonsoir,
Ce que je veux dire c'est qu'il ne faut pas confondre
- la fonction nulle qui vérifie : $\forall x \in [0,1] \quad f(x)=0$ et
- une fonction qui s'annule : $\exists x \in [0,1] \quad f(x)=0$.
L'ensemble des inversibles de $A$ est l'ensemble des fonctions qui ne s'annulent pas :
$$A^\times = \{f\in A \, ;\, \forall x \in [0,1] \quad f(x)\neq 0\}.$$
Roro.
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#7 19-10-2020 23:23:31
- DavidBe
- Membre
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- Messages : 58
Re : Anneau de fonctions
Bonsoir !
Oui en effet, je vous remercie de m'avoir éclairé et guidé.
J'ai tout compris !
Je vous souhaite une bonne soirée,
Bien cordialement
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