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#1 18-09-2020 09:09:35

48PierrelePetit
Membre
Inscription : 17-09-2020
Messages : 49

La conjecture de Syracuse

Bonjour à tous, c'est ma première intervention sur ce site et souhaite vous faire connaitre ce que j'ai appelé la table de Syracuse.
Tout vos commentaires seront appréciés.

Définition d'une table de Syracuse :

On défini A la suite des entiers positifs 3*x-2, 6*x-1, 6*x+5 pour x entier positif impair de 1 à 2*n+1.
Cette suite A sans limite commence par 1, 5, 11, 7, 17, 23, 13, 29, 35, 19, 41, 47, 25, 41, 59.
On remarque que cette suite A contient une fois et une fois seulement tout nombre impair entier positif non divisible par 3.
A chaque valeur 1 modulo 6 A(i) de A on associe la suite (A(i)*2^(2*j)-1)/3 pour j de 1 à n.
A chaque valeur -1 modulo 6 A(i) de A on associe la suite (A(i)*2^(2*j-1)-1)/3 pour j de 1 à n.
On obtient la table suivante avec A en première colonne :

  1, 1, 5, 21, 85, 341, 365, ...
  5, 3, 13, 53, 213, 853, 3413, ...
11, 7, 29, 117, 469, 1877, 7509, ...
  7, 9, 37, 149, 597, 2389, 9557, ...
17, 11, 45, 181, 725, 2901, 11605, ...
23, 15, 61, 245, 981, 3925, 15701, ...
13, 17, 69, 277, 1109, 4437, 17749, ...
29, 19, 77, 309, 1237, 4949, 19797, ...
35, 23, 93, 373, 1493, 5973, 23893, ...
19, 25, 101, 405, 1621, 6485, 25941, ...
41, 27, 109, 437, 1749, 6997, 27989, ...
47, 31, 125, 501, 2005, 8021, 32085, ...
..., ....,  .....,   ....,   .......,  .......,  ........, ..

Les propriétés remarquables de cette table de Syracuse :

Tout nombre impair strictement positif non multiple de 3 est présent une seule fois colonne 1.
Tout nombre impair strictement positif est présent une seule fois dans les colonnes d'indice > 1.
Les nombres sont classés dans l'ordre croissant pour toutes les colonnes d'indice > 1 et également en lignes exception faite du nombre de la première colonne.
Tous les nombres d'une même ligne d'indice de colonne > 1 ont tous le même successeur direct impair dans une suite de Syracuse et ce nombre est le premier de la ligne.
Seul le nombre impair 1 est présent deux fois dans la première ligne colonne 1 et colonne 2 cycle trivial oblige puisque 1 doit être son propre successeur impair.
Comme tous les nombres impairs d'une même ligne avec indice de colonne > 1 ont tous le même successeur (en colonne 1 de la ligne) et que ce successeur est unique il est impossible de revenir à la même ligne après l'avoir quittée sauf si d'une ligne d'indice > 1 on arrive à la première ligne pour atteindre le cycle trivial.
Donc une suite de Syracuse ne peut que se terminer par 1 ou avoir une durée de vol en années lumière.
Si on défini V la durée de vol comme étant le nombre de nombres impairs rencontrés dans une trajectoire de Syracuse avant d'atteindre 1, pour chaque valeur de V il existe toujours une infinité de nombres impairs différents conduisant à cette valeur V.
Par exemple pour V=1 la suite (4^n-1)/3 pour n de 1 à l'infini.
La valeur de V n'a pas de limite.

Merci pour votre attention

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#2 21-09-2020 10:03:11

Matou
Invité

Re : La conjecture de Syracuse

Bonjour,

La conjecture de Syracuse, c'est un sacré machin. Quand on pense que Yuri Matiyasevich, Terence Tao ou Paul Erdös ne sont arrivés qu'à des résultats partiels, il faut savoir rester humble. On peut avoir une idée de génie, certes, mais, il faut la relire plusieurs fois...

Cela dit,comme d'autres, il m'arrive d'y réfléchir de temps en temps, et j'ai plusieurs questions concernant ton texte :

1/
Pourquoi définis-tu A ainsi ? Tu prouves dans la suite du texte que tu as des notions sur les modulos, donc, tu devrais comprendre ce qui suit :
J'aurais pensé que A est un ensemble, pas une suite, et que pour mettre dans A tous les entiers impairs non divisibles par 3, il suffit de regarder tous les entiers congrus à 1 et 5 modulo 6.
$A=\{\,n\in\mathbb{N}\,\,\vert \,\, (\exists k \in \mathbb{N})\,\, ((n=6\cdot k + 1) \vee (n=6\cdot k + 5)) \,\}$.

C'est plus simple ainsi, non ?

2/
Tu affirmes que

Tout nombre impair strictement positif est présent une seule fois dans les colonnes d'indice > 1.

Est-ce que tu peux le démontrer ou est-ce une simple constatation ? Si tu peux le démontrer, tu as fait un pas intéressant, parce qu'il me semble que, dans ce cas, tu es sur le chemin pour montrer que tout vol en altitude a une durée finie. Pour être précis, c'est le premier mot de cette phrase (Tout) qui m'intéresse.

3/
Enfin, comment montres-tu que tous les termes de la premières colonne de ton tableau arrivent sur 1 en un nombre fini d'étapes ? Ceci est un point essentiel de la démonstration et je ne l'ai pas bien vu dans ce que tu as écrit !

Cordialement

Matou

#3 21-09-2020 11:35:30

48PierrelePetit
Membre
Inscription : 17-09-2020
Messages : 49

Re : La conjecture de Syracuse

Bonjour Matou et merci pour tes commentaires et questions.
Pas de problème en ce qui concerne A, c'est bien un ensemble défini comme une suite, de la même façon que je peux définir l'ensemble des entiers positifs zéro inclus équivalent à la suite définie par a(0)=0 puis a(i+1)=a(i)+1.
En ce qui concerne tout nombre impair est présent une seule fois dans les colonnes d'indice > 1 je peux le démontrer :
Tout nombre impair x=3*x/3=((3x+1)-1)/3
x étant impair 3*x+1 est pair et 1 modulo 3
3*x+1 est donc le produit d'un nombre impair y par une puissance de 2
toute puissance de 2 paire est 1 modulo 3
toute puissance de 2 impaire est -1 modulo 3
donc tout nombre impair est représenté par l'une des deux formules ((y*2^(2*j)-1)/3 ou ((y*2^(2*j-1)/3.
Merci à tous de m'avoir lu et je suis près à répondre à toute autre question qui me seront posées.

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#4 21-09-2020 12:18:35

Matou
Invité

Re : La conjecture de Syracuse

Bon, OK, j'ai compris ton tableau, enfin, je crois ;-)

Après, ce que tu as écrit me semble un peu plus obscur.
Tu pars d'un nombre impair quelconque, tu regardes dans quelle ligne il est, tu vas à la première colonne et tu changes de ligne, c'est bien ça ?
Du coup, es-tu sûr de retomber toujours sur la première ligne ? C'est à mon avis une question clé.

Je ne comprends pas ce que tu veux dire par "durée de vol en année lumière".

Peut-être que si on peut trouver un classement "optimisé" des lignes de ton tableau, on peut prévoir une trajectoire dans ce tableau pour chaque nombre impair et arriver à comprendre un peu mieux cette conjecture de Syracuse ?

#5 21-09-2020 13:16:04

48PierrelePetit
Membre
Inscription : 17-09-2020
Messages : 49

Re : La conjecture de Syracuse

Bonne journée à toi Matou et à tous.
Le problème 3x+1 ou conjecture de Collatz ou de Syracuse ou d'Ulam est un problème ouvert des maths depuis plus de 82 ans maintenant et bien que très simple dans sa définition personne n'a proposé une explication convaincante pour le moment mais il n'est pas nécessaire d'espérer pour entreprendre ni de réussir pour persévérer ( Guillaume d'Orange ).
Ce que j'essaye d'expliquer c'est que quand on part d'un nombre impair ( car partir d'un nombre pair donne après un certain nombre de divisions par 2 un nombre impair ) vont se succéder dans une trajectoire de Syracuse un certain nombre de nombres impairs que j'appelle V avant d'atteindre 1 le GRAAL !
Ce que je démontre c'est que tous les nombres impairs de la trajectoire seront tous non multiple de trois à l'exception possible du premier nombre impair de cette trajectoire.
La durée de vol V n'a pas de limite puisqu'on s'adresse à un ensemble infini de nombres impairs, et donc V n'a pas de limite, ce qui veux dire qu'il faudra un temps de plusieurs années lumière de calcul pour connaitre tous les nombres impairs tous différents d'une trajectoire de Syracuse en partant de certains nombres impairs très grand proches de l'infini.
Cela n'empêche pas que la suite se termine par 1 après ces années lumières de calcul mais la preuve ne peut pas être revendiquée !
Par contre de façon euristique il est certain que compte tenu de l'infinité de la table de Syracuse définie il viendra un moment où on rencontrera un nombre impair qui fait rétrograder la trajectoire et retourne à 1 en moins d'une journée terrestre !
Merci de m'avoir lu et j'attend d'autres commentaires ou questions.

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#6 26-09-2020 10:07:49

48PierrelePetit
Membre
Inscription : 17-09-2020
Messages : 49

Re : La conjecture de Syracuse

Bonjour au Forum
Pour illustrer mes propos sur V durée de vol d'une trajectoire de Syracuse mesurée par le nombre de nombres impairs rencontrés avant d'atteindre 1 j'ai fait calculer à mon PC les valeurs de V en partant des nombres premiers de Mersenne.
Pour 107 on part de 2^107-1 premier V=516 résultat en quelques secondes.
Pour 9589 on part de 2^9589-1 premier V=46391 résultat en quelques minutes.
Pour 756839 on part de 2^756839-1 premier V=3651984 résultat en quelques heures
En extrapolant les résultat obtenus  V sera > 600 000 000 pour le plus grand nombre premier de Mersenne connu à ce jour 82589933 et il faudra plusieurs jours de calcul pour obtenir la valeur exacte.

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#7 15-10-2020 15:35:12

48PierrelePetit
Membre
Inscription : 17-09-2020
Messages : 49

Re : La conjecture de Syracuse

Bonjour au Forum
J'ai écrit :  si on défini V la durée de vol comme étant le nombre de nombres impairs rencontrés dans une trajectoire de Syracuse avant d'atteindre 1, pour chaque valeur de V il existe toujours une infinité de nombres impairs différents conduisant à cette valeur V.
Par exemple pour V=1 la suite (4^n-1)/3 pour n de 1 à l'infini.
Autrement dit on peut calculer à partir des valeurs impaires qui ont une durée de vol V les valeurs impaires qui ont une durée de vol V+1 puis celles ayant une durée de vol V+2 et ainsi de suite mais in faudra une durée de calcul très longue pour trouver certains grands nombres impairs. 
A plus

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