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#1 06-10-2020 19:25:22
- Yasser Kabiri
- Membre
- Inscription : 01-08-2020
- Messages : 18
Exercice de l'arithmétique dans IN
Bonjour,j'ai un exercice et je n'ai pas pu démontrer j'ai fait une essai... plutot beacoup d'essai voilà l'ex :
Soit n de IN
Montrer que n3 - n est pair
ce que j'ai fait :
on a n3 - n + 1 = n3 - n2 - n + 1
= n3 - n2 + n2 - n + 1
=n (n2 - 1) + n2 - n + 1
= n (n-1) (n+1) + n(n-1) + 1
==>n (n+1) est pair (produit de deux nobres conssécutifs est pair) là je suis bloqué si quelqu'un a
une ideé et mercii
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#2 06-10-2020 19:27:26
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 049
Re : Exercice de l'arithmétique dans IN
Bonjour,
Je te propose de faire un raisonnement par disjonction de cas.
* tu supposes d'abord que $n$ est pair, et tu démontres que $n^3-n$ est pair.
* tu supposes ensuite que $n$ est impair, et tu démontrer que $n^3-n$ est impair.
Dans tous les cas, tu auras démontré que $n^3-n$ est pair.
F.
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#3 07-10-2020 16:02:05
- Yasser Kabiri
- Membre
- Inscription : 01-08-2020
- Messages : 18
Re : Exercice de l'arithmétique dans IN
Bonjour,
Oui j'ai pensé à cette méthode "discussion des cas " et on peut avoir une résultat.
j'ai fait un petit truc qui va m'aider à factoriser et donc déduire directement que le produit de deux nombres consécutifs est pair...
donc c'est ça la méthode que j'ai fait :
on a n3 - n2 = n(n2-n)
=n(n-1)(n+1) {on sait que le produit de deux nombres consécutifs est pair}
alors : n(n+1) = 2k /k ∈ IN
D'ou : 2(k(n-1)) est pair
Donc : n3 - n2 est pair .
Merci Fred pour votre aide .
Yasser.
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#4 13-10-2020 01:14:46
- Hassan
- Invité
Re : Exercice de l'arithmétique dans IN
n3 - n =n(n2 - 1)
=n(n -1)(n+1)
Pour tout n entier naturel supérieur à 1 on a
n et n -1 sont sucessive alors n( n -1) est pair
par suite n( n -1)(n +1) est paire
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