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Engué

Invité

Master 1 demonstration

Bonjour, alors j'arrive pas à montrer ça :

https://www.noelshack.com/2020-41-2-160 … 163457.jpg

[edit Fred]Pour que cela dure dans le temps...

$$\sup_{x\in\mathbb R}(\inf_{y\in\mathbb R}f(x,y))\leq \inf_{x\in\mathbb R}(\sup_{y\in\mathbb R}f(x,y)).$$

[/edit]

Est-ce que quelqu'un peut m'éclairer s'il vous plaît ?

Merci par avance.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 049

Re : Master 1 demonstration

Bonjour,

  Voici comment je procèdererais (je réfléchis en même temps que j'écris). Je veux démontrer que
$$\sup A\leq \inf B$$
où $A=\left\{\inf_{y\in\mathbb R}f(x,y):\ x\in\mathbb R\right \}$ et $B=\left\{\inf_{y\in\mathbb R}f(x,y):\ x\in\mathbb R\right \}.$

Pour démontrer ceci, il faut et il suffit de démontrer que tous les éléments de $A$ sont inférieurs ou égaux à tous les éléments de $B$.
Je choisis donc un élément quelconque de $A$ : il s'écrit $\inf_{y\in\mathbb R}f(x_1,y)$ pour un certain $x_1\in\mathbb R$.
Je choisis aussi un élément quelconque de $B$ : il s'écrit $\sup_{y\in\mathbb R}f(x_2,y)$ pour un certain $x_2\in\mathbb R$
(attention! Ce n'est pas forcément le même!).

Je dois démontrer que $\inf_{y\in\mathbb R}f(x_1,y)\leq \sup_{y\in\mathbb R}f(x_2,y)$.
Et là, je ne vois pas de raison pour laquelle ce soit vraie!
Il y a même des contre-exemples faciles : par exemple, la fonction $f$ définie par $f(0,y)=1$ et $f(x,y)=0$ si $x\neq 0$.

Tu nous caches donc quelque chose....

F.