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#1 25-09-2020 23:11:56

Lilly
Membre
Inscription : 02-08-2020
Messages : 8

Produit scalaire

Salut
j'ai besoin d'aide svp pour la question 2) j'ai calculé α mais j'ai trouvé une difficulté pour l'interprétation géométrique,en fait
α=inf { || t^2 -at -b|| ;a ∈ IR et b ∈ IR}
et pour la question 3) j'ai besoin d'idées
Merci d'avance.
produit

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#2 26-09-2020 09:01:55

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 912

Re : Produit scalaire

Bonjour,

Concernant l'interprétation géométrique (et une piste pour la question 3), tu peux penser à la distance de la fonction $t\mapsto t²$ au plan engendré par les fonctions $t\mapsto 1$ et $t\mapsto t$.

Tu dois certainement faire un lien avec un théorème de projection...

Roro.

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#3 26-09-2020 16:34:27

Lilly
Membre
Inscription : 02-08-2020
Messages : 8

Re : Produit scalaire

Merci beaucoup
C'est bon j'ai résolu la question 2
Concernant la question 3 j'ai essayé ça mais est ce que juste ?pro

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#4 26-09-2020 20:27:47

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 912

Re : Produit scalaire

Bonsoir,

Je ne comprend pas trop ta réponse à la question 3 (tu montres que l'ensemble des formes linéaires sur $E$ est isomorphe à $E$, et tu pourras donc identifier ta forme linéaire $P\mapsto P'(0)$ à $\varphi_Q$ pour un certain $Q$ ?).

A mon avis, dans ce cas explicite, le plus simple est de commencer par trouver $Q$ en supposant qu'il existe : si le résultat est vrai pour tout $P$ alors tu peux l'utiliser en prenant $P=1$, $P=X$ et $P=X²$. Tu en déduiras une expression possible pour $Q$ de la forme $Q=aX²+bX+c$.

Reste ensuite à vérifier (mais ce sera évident) que ce polynôme $Q$ fonctionne... et qu'il est unique.

En fait par linéarité de $P\mapsto P'(0)$ et $P\mapsto \int_0^1 PQ$, tu peux même travailler par équivalence.

Roro.

Dernière modification par Roro (26-09-2020 20:29:59)

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#5 26-09-2020 23:50:47

Lilly
Membre
Inscription : 02-08-2020
Messages : 8

Re : Produit scalaire

Merci
Mais comment trouver le Q en remplaçant P=1 ,P=X,P=X^2
J'ai pas vraiment compris votre idée.

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#6 27-09-2020 19:52:58

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 912

Re : Produit scalaire

Bonsoir,

Tu cherches un polynôme $Q$ de degré $2$, donc de la forme $aX²+bX+c$ tel que pour tout $P$, polynôme de degré $2$, tu aies
$$P'(0) = \int_0^1 PQ.$$

Par linéarité, tu peux donc chercher les trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour $P \in \{1,X,X^2\}$, tu aies
$$P'(0) = \int_0^1 (aX²+bX+c)P.$$

Tu obtiendras ainsi trois équations (linéaires) avec trois inconnues ($a$, $b$ et $c$).

Est-ce plus clair ?

Roro.

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#7 03-10-2020 19:43:43

Lilly
Membre
Inscription : 02-08-2020
Messages : 8

Re : Produit scalaire

Pardon pour le temps mort (j'avais un examen dans un autre module)
C'est bon j'ai compris et j'ai résolu la question
Merci énormément.

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