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#1 29-09-2020 12:58:49

ralph.W.X
Invité

Borel-Cantelli généralisé

Bonjour.

Soit $(E,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesuré, $(X_n)_n$ une suite d'éléments dans $\mathcal{A},$ tel que $\lim_n\mu(X_n)=0$ et $\sum_n\mu(X_n-X_{n+1})<+\infty.$ Prouver que $P(\limsup_n X_n)=0.$

En essayant de reprendre la preuve du lemme de Borel-Cantelli: $$\forall k, \mu(\limsup_nX_n) \leq \mu(\bigcup_{p \geq k}X_p) \leq \mu(X_k)+\mu(\bigcup_{p \geq k+1}X_p)$$

Comment utiliser l'hypothese $\sum_n\mu(X_n-X_{n+1})$ de façon à obtenir le reste d'une serie convergente?

Merci.

#2 29-09-2020 16:29:41

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 35

Re : Borel-Cantelli généralisé

Bonjour,

je crois que dans un premier temps la relation  suivante est à établir par récurrence:
si $\: i < j \:$ alors $\: \mu ( X_i - X_j ) \leq  \sum\limits_{n = i} ^{ j - 1 } \mu ( X_n - X_{n+1} )$ 
Ensuite on l'utilise sur une réunion ( indices k variant de 1 à n quelconque ) des   [tex] X_{k}  [/tex]
en décomposant cette réunion en différences, et je pense qu'on s'en sort ,
la série à termes positifs cherchée étant une somme partielle majorée par une série convergente.

Alain

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