Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 24-09-2020 17:56:52

Tania
Membre
Inscription : 09-09-2019
Messages : 46

derivation et notation ensemble vide

Bonjour,

Encore des interrogations :

1) est ce que ceci est vraie ''  f est décroissante sur I ssi f'<=0" ? Car dans les livres il n'y a pas ''ssi'' mais seulement ''si f' <=0 alors f est décroissante''.

2) autre chose je ne comprends pas pourquoi par moment on met des accolades autour du symbole ensemble vide et dautres fois on n'en met pas (exples :
- en proba pour l'intersection vide de deux evts
- l'intersection de deux intervalles qui est vide).

Merci

Hors ligne

#2 24-09-2020 18:19:15

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 150

Re : derivation et notation ensemble vide

Alors :

1) Soit $f$ une fonction dérivable. On a $f' \le 0$ alors $f$ est décroissante, oui. Étudions la réciproque, qui est : si $f$ est décroissante, alors $f' \le 0$, qui est vraie aussi. Disons que dans les livres, il n'y a que le si qui est marqué, car c'est celui qu'on utilise tout le temps.

2) Quand on fait l'intersection de deux intervalles, on obtient l'ensemble vide donc on note par exemple : $A \cap B = \varnothing$. En probabilités, c'est un peu plus complexe et c'est étrange que tu les notes $\{\varnothing\}$. Comment ton prof note les probabilités : $P(A)$ ou $P(\{A\})$ ?

Hors ligne

#3 25-09-2020 05:12:09

Tania
Membre
Inscription : 09-09-2019
Messages : 46

Re : derivation et notation ensemble vide

Merci !

Mon prof note P(A) sans Les accolades.

Sur la notation j'ai une autre question, pourquoi on nous dit qu'il faut toujours mettre des paratheses pour noter des droite par exemple la droite (d) mais dans plusieurs manuels ils écrivent ''la droite d'' sans les parenthèses ?

Hors ligne

#4 25-09-2020 07:48:53

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 150

Re : derivation et notation ensemble vide

Dans ce cas là, c'est bizarre que tu notes l'intersection vide $\{\varnothing\}$. Il doit sûrement y avoir une raison, mais je ne la connais pas, je note toujours uniquement $\varnothing$.

Pour ton autre question, on a dû t'apprendre de noter $(d)$ les droites pour probablement mieux différencier les objets, ne pas confondre une droite $(d)$ et un nombre $d$ par exemple, mais il n'y a pas vraiment de raison autre que pédagogique pour cela.

Hors ligne

#5 25-09-2020 13:32:15

Tania
Membre
Inscription : 09-09-2019
Messages : 46

Re : derivation et notation ensemble vide

Merci beaucoup !

Hors ligne

#6 25-09-2020 13:35:05

Tania
Membre
Inscription : 09-09-2019
Messages : 46

Re : derivation et notation ensemble vide

J'utilise les accolades avec le symbole ensble vide seulement quand je résous une équation et qu'il n'y a pas de solutions. J'écris S={ensble vide} mais en proba je n'utilise pas les accolades. C'est pour pourquoi je ne comprenais pas pourquoi dans les équations on utilise et pas en proba.

Hors ligne

#7 25-09-2020 14:29:11

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 084

Re : derivation et notation ensemble vide

Bonjour,


J'écris S={ensble vide}

Et bien, ça me gêne...
Il y a deux façons d'écrire que l'ensemble S des solutions est un ensemble vide :
$S=\{\}$  et  $S=\emptyset$
Mais pas
$S=\{\emptyset\}$ qui n'est pas un ensemble vide : ton ensemble S contient un élément qui est... l'ensemble vide.
Je sais, c'est paradoxal, mais pourtant c'est vrai.
Lorsque tu résous une équation, soit il y a une ou des solutions (en nombre limité) et ce sont des nombres, soit il n'y a pas de solution, soit il y en a une infinité...
S'il n'y a pas de solution alors l'ensemble des solutions est... vide : i.e. il ne contient rien et donc pas l'ensemble vide !

Il y a longtemps, quand on apprenait les maths "modernes",  on apprenait qu'il y avait deux façons de définir un ensemble :
- En extension (par la liste complète} de ses éléments (même si maintenant en Python les listes sont désignées avec des crochets)
- En compréhension : par une propriété caractéristique commune.

Parfois, s'il est possible de définir un ensemble en compréhension, il est impossible de le définir en extension .
Exemple : l'ensemble des nombres  pairs...

Soit l'ensemble $S=\{1,2,3\}$.
Quel est l'ensemble des parties de cet ensemble ?
(Une partie d'un ensemble est-elle-même un ensemble
$\mathcal{P}(S)=\left\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\right\}$
Au début, il y a l'ensemble vide, à la fin l'ensemble plein.

J'avais appris que l'ensemble des parties d'un ensemble, n'était jamais vide, car il contenait toujours au minimum... l'ensemble vide !

Ça va, je ne t'ai pas donné trop mal à la tête ? ^_^

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#8 25-09-2020 15:25:55

Tania
Membre
Inscription : 09-09-2019
Messages : 46

Re : derivation et notation ensemble vide

J'ai lu 3 fois votre réponse pour bien la comprendre et j'ai finalement bien compris :)
C'est clair maintenant, merci pour toutes vos explications !

Hors ligne

#9 29-09-2020 14:10:59

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 35

Re : derivation et notation ensemble vide

Bonjour Tania,

Il faut faire attention à ce qu'on écrit, c'est parfois un peu abstrait mais avec de la méthode tu vas bien comprendre.

On cherche des solutions à un problème. On note S l'ensemble des solutions ( normalement il s'agit bien d'un ensemble...).
Si je lis [tex] S = \{ \emptyset \}  [/tex] je vais comprendre :

- que l'on recherchait des ensembles comme solution à notre problème
- que l'ensemble des solutions n'est pas vide, et précisément que seul l'ensemble vide est solution.

( ce genre de question n'est pas débile du tout, et même fondamental quand on cherche à résoudre des questions ensemblistes
  assez générales, en topologie notamment )

Il y a donc une solution et une seule, l'ensemble vide, à notre problème ( où l'on recherche des ensembles ).

Si je lis [tex] S =  \emptyset  [/tex] je vais comprendre :

- qu'on a cherché les solutions à une question portant sur quelque chose ( non précisé sans autre information... )
- l'ensemble des solutions est vide, il n'y a donc pas de solution.

Ensuite si tu parles de probabilités c'est un peu la même idée :

P(A) désigne la probabilité que l'issue soit dans A ( on parle de réalisation de l' "évènement"  A )
P( {A} )  désigne par probabilité  que l'issue soit dans {A}, et donc que c'est exactement l' issue A qui sorte.
Si dans ces deux exemples A désigne le même objet mathématique (un ensemble) , tu comprends que l'univers n'est pas du tout
le même dans chaque cas, et donc que ces deux notations désignent des choses radicalement différentes.
Notamment dans le second cas, les éventualités élémentaires sont des ensembles...
En plus, voir les probabilités comme des juxtapositions d' évènements élémentaires n'est pas très correct, mais bon c'est
une autre histoire... ( en tous cas c'est correct pour les univers finis, jeux de dés, cartes, casino, roulette russe ( hum...) etc ou un peu plus grands, je passe là-dessus)
la vraie approche est plus subtile si on veut éviter des paradoxes pénibles... le premier abord si on s'y intéresse est difficile mais ça simplifie tout par la suite. Et on a même d'autres retombées dans d'autre domaines inattendus!

Cordialement,
Alain

Hors ligne

#10 29-09-2020 15:03:10

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 35

Re : derivation et notation ensemble vide

Bonjour,

Si je peux ( et espère ) être plus clair, un ensemble c'est caractérisé par ce qu'il contient, mais c'est comme le pichet de rouge,
c'est le contenu qui est super (surtout s'il en reste ), mais il faut bien qu'il y ait un pichet, un contenant pour tenir le contenu.
Pour l'ensemble vide,  le contenant est toujours là, mais il n'y a rien dedans ( bouhh..).
On a pu écrire à une époque l'ensemble vide par {}, très évocateur,  où on met en évidence le pichet, mais cette écriture n'est plus homologuée.

C'est bien le caractère norvégien ( le mathématicien Weil s'intéressait à cette langue et l'a donc proposé comme standard ) qui est "officiel".
En poussant avec humour l'analogie, comme on peut montrer qu'il n'y a qu'un seul ensemble vide, un pichet vide est donc rigoureusement égal à un tonneau vide, à une cave vide, égal à un troupeau sans berger ni moutons, une garde-robe vide, à l'ensemble des tiques sur un chien qui vient de passer au shampoing, mon ensemble de neurones après avoir écrit ceci....

A noter cependant qu'en théorie des ensembles , tout est ensemble (ou presque) , qu'il n'y a pas de distinction entre éléments et ensembles, et que l'appartenance est une relation ( qui est aussi un ensemble ?, je vois que vous suivez ...) comme une autre, obéissant à quelques axiomes très stricts cependant ( qui ramènent les choses à notre conception intuitive des ensembles, à peu de choses près) en lien étroit avec la logique. Bien-sûr c'est une jungle impitoyable si on veut être rigoureux et pas s'emmêler dans les lianes.

Ces axiomes ont parfois échauffés les esprits, surtout au 19 ième siècle, avec d' âpres débats, notamment au sujet de l'axiome du choix,
qu'on peut d'ailleurs accepter ou refuser ( mais alors les résultats sont moins harmonieux et certains théorèmes moins symétriques).

Alain

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quatre-vingt dix-neuf moins quatre-vingt trois
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums