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#1 28-09-2020 18:55:06

RBRQNY
Invité

Ascoli : compacité

Salut à tous,

je voulais savoir pour prouver que:

la partie G= {ga(x)} de C([0;1]) dans C([0;1]) ou ga(x)=sin(a+x) , a appartient à IR est compact

Ascoli:

Soit X un espace métrique compact (=>[0,1]) Y espace métrique (=>C[0,1]), G inclus dans C(X,Y) ( => C ( [0,1], C([0,1]) )
Alors G est une partie relativement compacte dans Y ( C([0,1]) si :
- G équicontinue sur X
- {f(x) | f appartient à G} est relativement compact dans Y (donc je dois montrer comment que l'ensemble des ga est relativement compact sur Y ?)

les ga sur C[0,1] sont bornées car 1- lip ce qui m'a permis d'impliquer l'équicontinuité,

[0,1] est compact, mais je ne comprend pas pourquoi on doit avoir {f(x) | f appartient à G} est relativement compact dans Y car le but c'est

d'avoir G={f(x) | f appartient à G} est relativement compact dans Y, il y un truck que je ne comprend pas.


je vois pas trop du coup...

#2 29-09-2020 05:22:27

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 670

Re : Ascoli : compacité

Bonjour,

  Je pense que tu as un problème de notation et que tu confonds la fonction et la valeur prise par la fonction en $x$.
Si je note $g_a$ la fonction définie de $[0;1]$ dans $\mathbb R$ par $g_a(x)=\sin(ax)$, alors tu dois démontrer que
$G=\{g_a:a\in\mathbb R\}$ est une partie compacte de $\mathcal C([0;1])$ (l'ensemble $G$ est donc un ensemble de fonctions).

Pour cela, d'après le théorème d'Ascoli, il suffit de démontrer que :
1. $G$ est équicontinue (ce qui provient effectivement du fait que toutes les fonctions de $G$ sont $1$-lipschitziennes, mais pas du fait qu'elles sont bornées).
2. Pour tout $x\in [0;1]$, $G(x)=\{g_a(x):\ a\in\mathbb R\}$ est relativement compact dans $\mathbb R$. Ici, $G(x)$ n'est plus un ensemble de fonctions, c'est un ensemble de réels, c'est l'ensemble des valeurs des $g_a$ en $x$. Et ceci est relativement compact dans $\mathbb R$ parce que c'est un ensemble borné par $1$.

F.

Hors ligne

#3 29-09-2020 08:10:16

RBRNY
Invité

Re : Ascoli : compacité

Bonjour,

d'accord donc G(x) est un ensemble de réels qui est borné par 1 car les ga sont toutes à support compact ou plutôt quelque soit g(x) est borné par 1 en utilisant TAF ?

#4 29-09-2020 12:35:32

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 912

Re : Ascoli : compacité

Bonjour,

Pour $x$ fixé, la famille $\{g_a, a\in \mathbb R\}$ est bornée par $1$ car la fonction $|\sin|$ est majorée par $1$.

Roro.

Hors ligne

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