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#1 26-09-2020 11:47:46

jiangzeminnarienfaitdemal
Membre
Inscription : 26-09-2020
Messages : 4

Sup, inf, max, et min d'une ensemble A

Bonjour,

J'ai du mal à justifier ma réponse à la question suivante. Soit $A={\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}^*}$. Déterminer $\sup(A)$ et $\inf(A)$. Trouvez $\max(A)$ et $\min(A)$ s'ils existent.

++++

Premièrement, on sait que $\sup(A)=\min(M(A))$ et $1\geq\frac{1}{n}$ pour $n\in\mathbb{N}^*$ alors $M(A)=[1,+\infty[$ ou encore $\sup(A)=\min([1,+\infty[)=1$.

Deuxièmement, $\inf(A)=\max(m(A))$ et $0<\frac{1}{n}$ car $n>0$, alors $m(A)=]-\infty,0]$ ou encore $\inf(A)=\max(]-\infty,0])=0$.

Troisièment, $\max(A)=M(A)\cap A$, comme $1\in M(A)$ et $1\geq\frac{1}{n}$ alors $\max(A)={1}$ donc le maximum de $A$ est 1.

Enfin, $\min(A)=m(A)\cap A$, comme $0\in M(A)$ mais $0<\frac{1}{n}$ alors $\min(A)=\emptyset$ donc le minimum de $A$ n'existe pas.
\section*{Exercice 9}
On montre d'abord que $M(-A)=-m(A)$ et $\min(-A)=-\max(A)$. Soit $A=[a,b]$ avec $a,b\in\mathbb{R}$ alors $-A=[-b,-a]$.

++++

La réponse est-elle bonne ?

Merci d'avance

Dernière modification par jiangzeminnarienfaitdemal (26-09-2020 11:49:29)

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#2 26-09-2020 18:56:15

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 670

Re : Sup, inf, max, et min d'une ensemble A

Bonjour,

  Lorsque tu écris que $1\geq \frac 1n$ pour $n\in\mathbb N^*$ alors $M(A)=[1;+\infty[$, tu vas un peu vite...
Après tout, tu as aussi que $2\geq \frac 2n$ pour tout $n\in\mathbb N^*$, et pourtant on n'a pas $M(A)=[2;+\infty[$....

Tu dois non seulement prouver que $1$ est un majorant, mais que c'est le plus petit des majorants. C'est facile ici car $1\in A$.
Tu dois aussi prouver que $0$ est le plus grand des minorants de $A$. Pour cela, tu peux considérer $x>0$ et démontrer que ce n'est pas un minorant de $A$ (conseil : la suite $1/n$ tend vers $0$)...

F.

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#3 27-09-2020 14:09:14

jiangzeminnarienfaitdemal
Membre
Inscription : 26-09-2020
Messages : 4

Re : Sup, inf, max, et min d'une ensemble A

Fred a écrit :

Bonjour,

  Lorsque tu écris que $1\geq \frac 1n$ pour $n\in\mathbb N^*$ alors $M(A)=[1;+\infty[$, tu vas un peu vite...
Après tout, tu as aussi que $2\geq \frac 2n$ pour tout $n\in\mathbb N^*$, et pourtant on n'a pas $M(A)=[2;+\infty[$....

Tu dois non seulement prouver que $1$ est un majorant, mais que c'est le plus petit des majorants. C'est facile ici car $1\in A$.
Tu dois aussi prouver que $0$ est le plus petit des minorants de $A$. Pour cela, tu peux considérer $x>0$ et démontrer que ce n'est pas un minorant de $A$ (conseil : la suite $1/n$ tend vers $0$)...

F.

Faut-il démontrer que la suite $\frac{1}{n}$ est décroissante et tend vers $0$ ou est-il dans ce cas évidente ?

Quelque chose comme ceci ? :

Premièrement, on sait que $\sup(A)=\min(M(A))$ et $1\geq\frac{1}{n}$ pour $n\in\mathbb{N}^*$. Comme $1\in A$ (avec $1=\frac{1}{n}$ tel que $n=1$) et la suite $\frac{1}{n}$ est décroissante, alors $1$ est le plus petit majorant de $A$, donc $M(A)=[1,+\infty[$. Ainsi, $\sup(A)=\min([1,+\infty[)=1$.

Deuxièmement, pour $\inf(A)=\max(m(A))$, on sait que $0<\frac{1}{n}$ et la suite tend vers $0$ alors $0$ n'est pas un minorant de $A$ ($0\notin A$) alors $m(A)=]-\infty,0]$ ou encore $\inf(A)=\max(]-\infty,0])=0$.

Dernière modification par jiangzeminnarienfaitdemal (27-09-2020 14:34:25)

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#4 27-09-2020 21:58:56

elasag
Membre
Inscription : 27-09-2020
Messages : 2

Re : Sup, inf, max, et min d'une ensemble A

Il y a une contradiction, 0 est un minorant mais ce n'est pas le minimun ou le plus petit élément de A car 0 n'appartient pas à A. Je pense qu'on peut directement dire que inf(A) = 0 ou non ?

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#5 27-09-2020 22:03:06

elasag
Membre
Inscription : 27-09-2020
Messages : 2

Re : Sup, inf, max, et min d'une ensemble A

Fred a écrit :

Bonjour,

  Lorsque tu écris que $1\geq \frac 1n$ pour $n\in\mathbb N^*$ alors $M(A)=[1;+\infty[$, tu vas un peu vite...
Après tout, tu as aussi que $2\geq \frac 2n$ pour tout $n\in\mathbb N^*$, et pourtant on n'a pas $M(A)=[2;+\infty[$....

Tu dois non seulement prouver que $1$ est un majorant, mais que c'est le plus petit des majorants. C'est facile ici car $1\in A$.
Tu dois aussi prouver que $0$ est le plus grand des minorants de $A$. Pour cela, tu peux considérer $x>0$ et démontrer que ce n'est pas un minorant de $A$ (conseil : la suite $1/n$ tend vers $0$)...

F.

On raisonne par l'absurde : 1/n > x et on fait lim quand n tend vers + infini , ça nous donne 0 > x contradiction.
c'est juste?

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#6 29-09-2020 05:30:19

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 670

Re : Sup, inf, max, et min d'une ensemble A

Bonjour,

  Si $0$ n'est pas la borne inférieure de $A$, il existe $x>0$ qui est un minorant de $A$. Mais alors,
pour tout $n\geq 1$, on a $x\leq \frac 1n$. En passant à la limite, on trouve $x\leq 0$ ce qui est une contradiction.

Pour Elsag : attention à l'inégalité stricte qui devient une inégalité large quand on passe à la limite.

F.

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