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#1 28-09-2020 13:25:27

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 35

(petit) défi avec utilisation limitée de l'analyse

Bonjour,

Il est facile de montrer que [tex] \forall x \in R_{+} \,\,  sin( x ) \leq x [/tex].
Il suffit de dériver la différence des deux membres, et d'étudier la croissance de la fonction obtenue.

Fort de ce résultat, on peut montrer par un procédé similaire que [tex] x - x^3/6 \leq sin(x) [/tex].
Néanmoins on est en pratique contraint cette fois de dériver deux fois, les signes étant nettement moins évidents
pour en déduire des monotonies.
En habitant sur une planète où on ne dérive toujours qu'une fois ( allez savoir pourquoi ... ), montrer qu'on peut tout de même
s'en sortir avec un moyen élémentaire ( sans séries etc, autrement dit connaissant le premier résultat et en ne dérivant
qu'une fois ).

Cordialement
Alain

Hors ligne

#2 28-09-2020 16:54:48

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 35

Re : (petit) défi avec utilisation limitée de l'analyse

Bonjour,

Je donne ici une possibilité de preuve qui montre que l'on peut s'éviter de dériver deux fois.
La dérivée première de [tex] sin(x) - ( x - x^3/6 ) [/tex] (dont on cherche le signe)
est [tex] cos(x) - 1 + x^2/2 [/tex].
Pour ne pas réétudier cette nouvelle fonction ( et donc la dériver etc ) ,
on remarque qu'elle vaut  [tex] 2 [ (x/2)^2 - sin^2(x/2) ][/tex].

- si [tex] 0 \leq x \leq 2\pi [/tex]  [tex] sin(x/2) [/tex] est positif  et on applique l'inégalité entre sin et identité, qui passe au carré.
- si [tex] x > 2\pi ,\, alors \, sin( x/2) [/tex] peut être négatif,  mais reste néanmoins en valeur absolue
  plus petit que 1, alors que  [tex] x/2 [/tex] vaut  au  moins [tex]\pi [/tex] donc la quantité est encore positive.

Evidemment, au pays fabuleux d' Aglaé et Sidonie où on n'est pas embarrassé pour dériver deux fois de suite, la preuve
est liminaire.

Alain

Hors ligne

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