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#1 26-09-2020 13:26:58

azer1957
Invité

exercice de logique

Bonjour
aidez moi à terminer la résolution de cet éxercice
montrer que l équation  (E)   : [tex]an^3+bn^2+cn+d=0[/tex] avec [tex]a;b;c;d[/tex] entiers relatifs impairs et [tex]n\in \mathbb Z[/tex]
Montrer que cette équation n admet pas de solutions rationnelles
j ai procédé par absurde
supposons que (E) admet une solution rationnelle  donc il existe [tex](p,q) \in  \mathbb Z\times \mathbb N^{\star}[/tex]   p et q premiers entre eux et [tex]\frac{p}{q} [/tex] solution de (E)
donc [tex]ap^3+bp^2q+cpq^2+dq^3=0[/tex]
on a deux cas soit (p et q sont de parités différentes )  ou ( p et  q tous les 2 impairs)
le dernier  cas n aurait pas lieu sinon p et q ne serait pas premiers entre eux
si p pair et q impair alors [tex]ap^3+bp^2q+cpq^2[/tex] est pair et par suite [tex]p^3+bp^2q+cpq^2+dq^3[/tex] est impair absurde (0pair)
si p impair et q pair [tex]bp^2q+cpq^2+dq^3[/tex] est pair et par suite [tex]ap^3+bp^2q+cpq^2+dq^3[/tex] est impair absurde (0pair)
reste  à traiter le deuxème cas et trouver une contradiction

et merci
cordialement          Mrini

#2 27-09-2020 10:03:58

Matou
Invité

Re : exercice de logique

Bonjour,

il y a plusieurs points que je ne comprends pas, autant dans ton travail que dans l'énoncé :

Si j'ai bien compris, tu affirmes que deux entiers impairs ne sont jamais premiers entre eux. Pourtant, j'ai l'impression que 3 et 5 sont premiers entre eux.

Deuxièmement, à partir du moment où tu as obtenu ton équation $ap^3+bp^2q...$, p et q jouent des rôles symétriques, tu ne devrais pas te poser de question pour finir.

Enfin, et c'est le plus ennuyeux, l'équation $27n^3+9n^2+3n-3=0$ admet 1/3 comme solution si mes calculs sont bons. Du coup, j'ai comme un problème avec ton énoncé.

Cordialement

Matou

#3 27-09-2020 11:03:55

Matou
Invité

Re : exercice de logique

Ré,

Je viens de comprendre, tu as écrit "le dernier cas n'aura pas lieu", il fallait comprendre que tu parlais du cas p pair et q pair, du coup, ton travail est correct pour l'ensemble de ce que tu as fait.

Il reste cependant le problème avec l'énoncé...

#4 27-09-2020 15:11:18

mrini1957
Membre
Inscription : 08-10-2019
Messages : 3

Re : exercice de logique

Bonjour
merci Matou pour votre collaboration
l exercice figure dans le manuel scolaire ,du coup je n ai pas pensé à  ce que son énoncé soit faux
[tex]\frac{1}{3}[/tex] est bien solution de l équation que vous avez proposé
merci 
cordialement  Mrini

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