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#1 24-09-2020 16:08:23

blabla889
Membre
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Messages : 3

reduction des endomorphismes

Bonjour, je n'arrive pas à comprendre pourquoi lorsque 2 lignes sont identiques dans une matrice alors 0 est valeur propre .
Merci d'avance.

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#2 24-09-2020 16:48:35

valoukanga
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Re : reduction des endomorphismes

Bonjour !

Si deux lignes dans une matrice $A$ sont identiques, alors ta matrice n'est pas inversible (si tu le ne sais pas, dis-le et je te l'expliquerai). Ainsi, on a que $\ker A \neq \{0\}$, ou contre $\ker(A-0 \times I_n) \neq \{0\}$, donc $0$ est une valeur propre de ta matrice $A$.

Est-ce plus clair ? Si tu veux plus d'étapes, je peux encore plus détailler.

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#3 24-09-2020 17:06:41

blabla889
Membre
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Messages : 3

Re : reduction des endomorphismes

Je veux bien plus d'explication sur le fait que ma matrice ne soit pas inversible et le lien avec le fait que ker(A) ne soit pas vide.Merci.

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#4 24-09-2020 18:23:05

valoukanga
Membre
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Messages : 150

Re : reduction des endomorphismes

On sait que pour une matrice $A$ carrée de taille $n \in \mathbb N^*$, on peut interpréter ses lignes (ou ses colonnes) comme une famille de $n$ vecteurs de $\mathbb R^n$ (ou $\mathbb C^n$). On sait alors que ta matrice est inversible si et seulement si les vecteurs lignes forment une base de $\mathbb R^n$. Si deux lignes sont identiques, alors les vecteurs-lignes ne forment évidemment pas une base de $\mathbb R^n$, donc ta matrice inversible, ce qui explique mon raisonnement.

Est-ce que c'est plus clair ?

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#5 24-09-2020 18:34:46

blabla889
Membre
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Messages : 3

Re : reduction des endomorphismes

C'est très clair mais petite question comment peut on affirmer que "1 matrice est inversible si et seulement si les vecteurs lignes forment une base de Rn" ?

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#6 24-09-2020 19:02:58

valoukanga
Membre
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Messages : 150

Re : reduction des endomorphismes

Oui c'est exact ! Il en va de même pour les vecteurs colonnes.

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#7 25-09-2020 08:16:19

bridgslam
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Inscription : 22-11-2011
Messages : 35

Re : reduction des endomorphismes

Bonjour,

Si deux lignes sont identiques, en écrivant en ligne les images des vecteurs de base ( au lieu des colonnes, pourquoi pas, ça évite
de parler de transposée, ou de dualité ) par l' application linéaire f associée,
on a donc deux éléments linéairement indépendants [tex] e_1  \, et \, e_2  \, avec \; u (e_1)  =  u(e_2)  [/tex]
et donc  [tex]  \, u (e_1 - e_2)  = 0 . (e_1 - e_2) \,\, avec  \, (e_1 - e_2 ) \neq 0 [/tex] par linéarité.
0 est donc bien une valeur propre...
Attention la matrice n'est pas forcément carrée, donc on ne peut pas faire intervenir de déterminant ni d'endomorphisme...

Cordialement,
Alain

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#8 25-09-2020 08:21:47

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 35

Re : reduction des endomorphismes

Bonjour,

Néanmoins d'après mes souvenirs, pour des questions de vecteurs propres, on considère des endomorphismes pour pouvoir parler de colinéarité entres images et antécédents. Ma dernière remarque est donc à supprimer...
Mais c'est loin tout ça...

Alain

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