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#1 24-09-2020 15:36:44

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 35

un résultat arithmétique

Bonjour,

En attaquant un sujet de dénombrement en rapport avec les permutations et les tailles de leurs orbites,
un résultat arithmétique assez inattendu ( mais immédiat ou presque ) est celui-ci:


En désignant par E l’ensemble des uplets d’entiers positifs non nuls
rangés en ordre lexicographique croissant dont la somme des constituants est
une constante donnée on a :

[tex]\sum_{x \in E} P(x) = 1  [/tex]

où P(x)  est le produit des inverses de chaque constituant de x divisé par son rang dans sa
série d’identiques éventuels.

Exemple avec n = 5
x                  |               P( x )
----------------------------------------------------------------------
(1, 1, 1, 1, 1) |          1/1 x 1/2 x 1/3 x 1/4 x1/5 = 1/120   ( série de 4 identiques pour 1)
( 1, 1, 1, 2 )   |          1/1 x 1/2 x 1/3 x 1/2 = 10/120        ( série de 3 identiques pour 1)
( 1, 1, 3 )      |          1/1 x 1/2 x 1/3 = 20/120                 ( série de 2 identiques pour 1)
( 1, 4 )          |          1/1 x 1/ 4 = 30/120                        ( pas de série, ou série de 1 identiques à 1  si on préfère)
( 1 , 2, 2 )     |          1/1 x 1/2 x 1/4 = 15/120                  ( série de 2 identiques pour 2)
( 2 , 3 )         |          1/2 x 1/3 = 20/120                         ( pas de série )
( 5 )             |           1/5 = 24/120                                ( pas de série )
----------------------------------------------------------------------
Total             |          120/120

L'entier n peut évidemment prendre une autre valeur, on obtiendra un autre tableau analogue...
Cela m'a amusé, car il y a une sorte d'équilibrage entre une somme entière au final et produits d'inverses.

Je me demande s'il existe une preuve directe arithmétique, donc sans
élucubration combinatoire sous-jacente ( un peu abstraite - je passe ).
Pas trop cherché pour l'instant, mais quelqu'un peut avoir un flash...


Cordialement,
Alain

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