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#1 21-09-2020 11:39:51

maths44000
Invité

Équation avec paramètre

Bonjour,
Je dois compléter un exemple de mon cours de maths spécialité en 1ere. Cela conciste en la résolution d'un système avec un paramètre.
4x - 2y = 5
2x + ty = 6
Je n'ai aucune idée de comment faire. Si qqn pouvait m'expliquer avec les étapes ça serait parfait afin que je puisse faire d'autres équations de ce type

Merci d'avance

#2 21-09-2020 12:37:24

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 084

Re : Équation avec paramètre

Bonjour,

Ton paramètre est un nombre que tu ne connais pas, alors tu fais tes calculs comme si tu le connaissais, sauff que
$2\times t = 2t$
ou $t+2$ (par ex) ça reste $t+2$...
En un mot comme en 100, tu vas faire du calcul littéral en gardant t...
Tu as toujours les 2 méthodes disponibles : addition (combinaison) et substitution.
Ici je multiplierais la 2e équation par -2 ;
$\begin{cases}\quad 4x - 2y &=5\\-4x-2ty&=-12\end{cases}$
Et addition membre à membre pour éliminer $x$...
Ou alors si tu connais la méthode avec les déterminants :
$\begin{cases}4x - 2y -5 &=0 \\2x+ty-6&=0\end{cases}$

$x=\dfrac{\begin{vmatrix} -2 & -5 \\ t & -6 \end{vmatrix} }{\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 2 & t \end{vmatrix} }$

Ça te suffit ?

@+


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#3 21-09-2020 13:42:31

maths44000
Invité

Re : Équation avec paramètre

Il me faudrait tout le calcul développé, c'est un exemple de cours pas un exo. Il me faudrait la rédaction complète.

#4 21-09-2020 15:32:08

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 084

Re : Équation avec paramètre

Re,

Certes, mais
1. Avec la méthode classique :   

Tu as toujours les 2 méthodes disponibles : addition (combinaison) et substitution.
Ici je multiplierais la 2e équation par -2 ;
$\begin{cases}\quad 4x - 2y &=5\\-4x-2ty&=-12\end{cases}$
Et addition membre à membre pour éliminer $x$...

   Tu ne serais pas capable de finir seul et de produire un peu de calcul littéral ???
   J'espère que non, parce que sinon, tu as du souci à te faire...
   Après addition membre à membre, on tombe sur :
   $(4x-4x) -2y-2ty=5-12$
   $\Leftrightarrow$
   $-y(2+2t)=-7$
   $\Leftrightarrow$
   $y=\dfrac{7}{2+2t}$
   De la première équation je tire :
   $ x=\dfrac{2y+5}{4}$
   D'où
   $x=\dfrac{2\times\dfrac{7}{2+2t}+5}{4}=\dfrac{\dfrac{7}{1+t}+5}{4}=\dfrac{\dfrac{7+5+5t}{1+t}}{4}$
   Soit
   $x=\dfrac{12+5t}{4(1+t)}$

2. Quant à la méthode des déterminants, as-tu vu ça ou pas ? (question déjà posée)
    Je ne vais pas te refaire le cours, juste te donner les formules.
    A partir de l'écriture :
    $\begin{cases} ax+by+c &=0\\ a'x+b'y+c' &=0\end{cases}$
    Tu écris :
     a   b   c  a
     a'  b'  c'  a'
    Et tu obtiens
    * le dénominateur commun aux 2 inconnues :
      $D=\begin{vmatrix}a & a'\\ b & b'\end{vmatrix}=ab'-a'b$
    * le numérateur de x
       $N_x=\begin{vmatrix}b & c\\ b' & c'\end{vmatrix}=bc'-b'c$
    * le numérateur de y
       $N_y=\begin{vmatrix}c & a\\ c' & a'\end{vmatrix}=ca'-c'a$

      Dans ton cas, tu peux constater que $D=4+4t$ et que si $t=-1$, il n'y a pas de solution (système impossible).

@+


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#5 21-09-2020 17:10:19

maths44000
Invité

Re : Équation avec paramètre

Si j'en suis capable, je n'avais pas vu les déterminants sinon

#6 21-09-2020 17:52:29

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 084

Re : Équation avec paramètre

Re,

Bon, ça te va alors ?
Attends 24 h si tu peux et refais-le, non pas par cœur, mais en sachant à chaque étape ce que tu fais en pleine conscience et pourquoi tu le fais.
C'est important.
Cette année n'aura pas grand chose à voir avec la 2nde ce sera plus intense, mais si tu aimes les Maths, elle te paraîtra ô combien plus intéressante...
@+


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#7 21-09-2020 17:59:27

maths44000
Invité

Re : Équation avec paramètre

Je ne comprends juste pas le passage de
(2*((7)/(2+2t))+5)/4 à ((7)/(1+t) +5))/4

#8 21-09-2020 18:43:05

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 084

Re : Équation avec paramètre

Re,

Donc ça :

$x=\dfrac{2\times\dfrac{7}{2+2t}+5}{4}=\dfrac{\dfrac{7}{1+t}+5}{4}$
Je vais rajouter 2 étapes intermédiaires :
$x=\dfrac{2\times\dfrac{7}{2+2t}+5}{4}=\dfrac{\dfrac{2 \times 7}{2+2t}+5}{4}=\dfrac{\dfrac{2 \times 7}{2(1+t)}+5}{4}                          =\dfrac{\dfrac{7}{1+t}+5}{4}$
Je passse de la 2e à la 3e étape en factorisant le dénominateur.
Et de l'avant-dernière à la dernière étape ci-dessus, j'ai simplement simplifié la fraction $\dfrac{2 \times 7}{2(1+t)}$ par 2...

Ah, ces fractions !...
Quelques rappels :

Simplifier une fraction, c'est diviser numérateur et dénominateur par un même nombre non nul
$\dfrac{k \times  a}{k\times b}= \dfrac a b $

Multiplier une fraction par un nombre c'est multiplier le numérateur de la fraction par ce nombre :
$k \times \dfrac a b = \dfrac{k \times  a}{b}$
Pour te raccrocher à quelque chose de connu et ne pas apprendre cette règle, pense que $k=\dfrac k 1$, alors :
$k \times \dfrac a b = \dfrac{k}{1} \times \dfrac {a}{b}= \dfrac{k \times  a}{1\times b}=\dfrac{k \times  a}{b} $

Même idée ppur diviser une fraction par un nombre :
$\dfrac{\; \dfrac a b \;}{c}= \dfrac{\; \dfrac a b \;}{\dfrac c 1}= \dfrac a b \times  \dfrac 1 c =\dfrac{a \times 1}{ b \times c}=\dfrac{a} { b \times c}$
Là aussi, il y a une règle (qui ne sert à rien non plus) :
Diviser une fracion par un nombre, c'est multiplier le dénominateur de la fraction par ce nombre...

C'est bon, j'ai répondu à ta question ?

@+


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#9 21-09-2020 19:05:48

maths44000
Invité

Re : Équation avec paramètre

Bien sûr
Merci beaucoup pour ton message et tes explications !

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