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#1 19-09-2020 10:36:14

manth
Membre
Inscription : 19-09-2020
Messages : 7

Suite de Cauchy convergeant vers 0, tq max ne tend pas vers 0

Bonjour,

Je dois montrer que l'espace (C^1([0,1]), ||.||) où ||f|| = max |f(x)| pour tout x dans [0,1] n'est pas un espace de Banach.

Dans une question préalable j'ai montré que l'espace  (C^1([0,1]), ||.||)  où ||f|| = max |f'(x)| + max |f(x)| pour tout x dans [0,1] est un espace de Banach.

Donc le problème vient de la norme utilisée.

Une piste que j'ai pour montrer que ce n'est pas un espace de Banach serait de trouver une suite de fonctions qui soit dans (C^1([0,1]), ||.||) qui soit de Cauchy, mais telle que le max |f_n(x) - f(x)| pour x dans [0,1] ne tende pas vers 0.

Je me creuse le cerveau depuis ce matin pour trouver une telle suite de fonction mais je me demande si c'est bel et bien possible.

Pourriez-vous m'indiquer s'il existe une telle suite de fonctions ou si j'ai mal réfléchis au problème ?

Merci encore pour votre aide !

Dernière modification par manth (19-09-2020 12:37:36)

Hors ligne

#2 19-09-2020 13:51:48

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 409

Re : Suite de Cauchy convergeant vers 0, tq max ne tend pas vers 0

Bonjour,
Ce n'est pas tout à fait ta méthode mais à tu essayé avec $x \mapsto \frac{1}{x+n}$ ? (en montrant que c'est une suite de Cauchy dans $\mathcal{C}^1([0,1])$ mais qui ne converge pas)

Hors ligne

#3 19-09-2020 14:20:31

manth
Membre
Inscription : 19-09-2020
Messages : 7

Re : Suite de Cauchy convergeant vers 0, tq max ne tend pas vers 0

Bonjour, merci pour la réponse rapide.

Je ne suis pas sûr de voir pourquoi elle ne converge pas sur [0,1] : on a max |f_n(x)| = 1/n (en x=0) puisque c'est une fonction décroissante, mais à part ça en faisant tendre n, elle converge bien vers la fonction nulle sur [0,1]. Si je pose x |-> 0 la fonction identiquement nulle sur [0,1], on a :

|| f_n - f || = max | f_n - 0 | = 1/n et ce 1/n tend bien vers 0 lorsque l'on fait tendre n vers l'infini. Donc cette fonction converge dans (C^1([0,1]), ||.||)...

N'hésitez pas à me dire si je passe à côté de quelque chose : cette notion d'espace de Banach est toute fraîche dans mon esprit !

Hors ligne

#4 19-09-2020 20:18:59

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 668

Re : Suite de Cauchy convergeant vers 0, tq max ne tend pas vers 0

Bonjour,

  La méthode que tu proposes ne peut pas fonctionner, car $\mathcal C([0,1])$ muni de $\|f\|_\infty=\max_{x\in [0,1]} |f(x)|$ est un espace de Banach. Ainsi, si tu prends une suite de Cauchy $(f_n)$ de $\mathcal C^1([0,1])$ pour $\|\cdot\|_\infty$, alors tu es sûr qu'elle admet une limite $f$ qui est continue. En revanche, ce que tu ne sais pas, c'est si cette limite va être dérivable. L'idée est donc de construire une telle suite dont la limite n'est pas $\mathcal C^1$.
Comment faire? Le premier exemple qui me vient en tête d'une fonction qui est continue mais pas dérivable est $f(x)=\sqrt x$. J'essaierai donc bien avec $f_n(x)=\sqrt{x+\frac 1n}$ (je n'ai pas fait les calculs....).

F.

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#5 20-09-2020 09:05:24

manth
Membre
Inscription : 19-09-2020
Messages : 7

Re : Suite de Cauchy convergeant vers 0, tq max ne tend pas vers 0

Bonjour Fred,

Merci pour votre réponse.

J'aimerais revenir sur quelques points dont vous avez parlé. Votre idée semble de montrer que la limite d'une certaine suite de fonctions de C^1([0,1]) n'appartient pas à C^1([0,1]).

Le calcul de || f_n - f || nous donne sqrt(1 + 1/n) - sqrt(1) qui tend évidemment vers 0. Donc la norme "permet" cette convergence. Dans mon esprit, le problème qui fait que cet espace n'est pas de Banach, était que c'était la norme qui empêchait au moment du calcul de || f_n - f|| d'obtenir une quantité qui tend vers 0 et donc d'obtenir la convergence.

Il semble donc que votre réponse soit axée plus sur "montrer que la limite n'appartient pas à l'espace". Et encore une fois, je ne perçois pas vraiment la différence avec le premier espace qui était  (C^1([0,1]), ||.||)  où ||f|| = max |f'(x)| + max |f(x)|.

En effet, si l'on considère cet espace et que l'on calcule ||f_n - f|| = max |f_n'(x) - f'(x)| + max |f_n(x) - f(x)|, cette limite tend bien vers 0. Et pourtant, la limite de cette suite n'est toujours pas differentiable et donc f n'appartient toujours pas à l'espace C^1([0,1]).

Ce que je veux dire par là en bref, c'est que je ne vois pas pourquoi ce que vous me conseillez de faire peut marcher sachant que la définition de votre suite de fonctions est indépendante de la norme qu'on utilise sur notre espace, et que j'ai bien l'impression que ce qui permet à un espace d'être Banach et ce qui empêche l'autre d'être Banach est bel et bien la norme utilisée.

Encore une fois merci pour votre temps, et je me permets de le re-préciser, cette notion est toute fraîche alors n'hésitez pas à me dire si j'ai mal compris l'essence du concept des espaces de Banach !

H

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