Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 17-09-2020 17:10:56

eomfe3112
Membre
Inscription : 17-09-2020
Messages : 3

Justifier l'impossibilité d'une solution entière d'une équation -T-ale

Bonjour, je bloque à un exercice en mathématiques (spécialité / terminal). Je ne comprends pas comment démontrer l'affirmation puisque nous n'avons pas vues comment résoudre des équations avec des exposants 5 (mais nous avons fait les fonctions polynômes de degré 2). 

Exercice: Justifier l'impossibilité d'une solution entière d'une équation
Démontrer qu'il est impossible que l'équation x5 - 6x + 3x - 10 =0 admette pour solution un entier relatif (positif ou négatif).

Merci par avance de votre aiguillage.

Hors ligne

#2 17-09-2020 17:33:54

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 150

Re : Justifier l'impossibilité d'une solution entière d'une équation -T-ale

Bonjour !

Je soupçonne une erreur d'énoncé, tu as écrit $x^5 - 6x+3x-10 = 0$, je pense qu'il manque un exposant au $6x$. Merci de vérifier ! Ça change un peu la réponse qu'on peut t'apporter.

Hors ligne

#3 17-09-2020 17:38:35

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 15 084

Re : Justifier l'impossibilité d'une solution entière d'une équation -T-ale

Bonsoir,

$x^5 - 6x + 3x-10=0$

Ton -6x+3x m'intrigue...
Il ne manquerait pas un exposant  quelque part ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#4 18-09-2020 03:35:24

Thomas M
Invité

Re : Justifier l'impossibilité d'une solution entière d'une équation -T-ale

Bonjour,
Comme précisé, il y a probablement une erreur d'énoncé donc il faut la rectifier.
Maintenant, pour que tu puisses quand même te lancer quand tu auras l'énoncé exact, tu es en spécialité donc il va falloir que tu utilises des outils d'arithmétique, probablement des congruences. Par exemple, il peut être intelligent de regarder, selon si x est congru à 0, 1 ou 2 modulo 3, à quoi est congru l'expression globale (pour l'instant x^5-6x+3x-10 mais à modifier avec l'énoncé exacte).Si les congruences modulo 3 ne fonctionne pas, peut-être faut-il simplement regarder la parité de x. Je te donnes un exemples plus simple pour que tu puisses comprendre le raisonnement qui est probablement attendu:
                                       x^3-x-15 = 0 n'a pas de solutions entières. Comment je le sais?
Soit x un entier.
Si x congru à 1 modulo 2( x impair), alors x^3 est congru à 1^3 modulo 2 soit 1 modulo 2. Donc x^3-x-15 est congru à 1-1-15 modulo 2 soit à 1 modulo 2.
Si  x congru à 0 modulo 2 (x pair), x^3-x-15 congru à 1 modulo 2.
Dans tous les cas, on a donc x^3-x-15 congru à 1 modulo 2.
Donc, si x est un entier, x^3-x-15 est congru à 1 modulo 2, or 0 est congru à 0 modulo 2 donc on ne peut pas avoir x^3-x-15 = 0.

C'est le genre de raisonnement qu'on attend de toi sur ce genre de questions je pense.

#5 18-09-2020 11:49:19

eomfe3112
Membre
Inscription : 17-09-2020
Messages : 3

Re : Justifier l'impossibilité d'une solution entière d'une équation -T-ale

Rebonjour, merci de vos réponses.

Oui en effet je me suis trompée: l'équation est bien x5 - 6x2 + 3x -10 =0.

Je n'ai pas encore étudié les congruences (j'ai étudié pour l'instant la divisibilité et la division euclidienne). Pensez vous qu'il est possible de trouver la réponse sans passer par la congruence.

Hors ligne

#6 18-09-2020 12:11:28

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 670

Re : Justifier l'impossibilité d'une solution entière d'une équation -T-ale

Bonjour,

  Oui, c'est tout à fait possible. On fait un raisonnement par l'absurde. Imaginons qu'il y ait un entier $n\in\mathbb Z$ solution de l'équation. On peut alors écrire $n^5-6n^2+3n=10$. On factorise par $n$ à gauche et on trouve :
$$n(n^4-6n+3)=10.$$
Autrement dit, tu sais que $n$ divise 10. Maintenant, des diviseurs de $10$, il n'y en a pas beaucoup... Il suffit de vérifier que ces nombres ne sont pas solutions de l'équation.

F.

Hors ligne

#7 18-09-2020 15:00:26

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 35

Re : Justifier l'impossibilité d'une solution entière d'une équation -T-ale

Bonjour,

On peut voir (analyse-synthèse, on cherche des conditions nécessaires pour circonscrire la question ) que x doit diviser 10 d'une part,
que si [tex] x \le -1[/tex], l'entier [tex] 10/x [/tex] est à la fois strictement négatif ( pour que le produit avec x soit positif ), mais alors [tex] 10/x [/tex]  est une somme de nombres positifs au moins égale à 10 (en maniant quelques inégalités) , donc positif.
Il reste donc les nombres 1,2,5 à tester ( diviseurs positifs de 10 ), et même seulement 1 car la relation implique que le reste de x dans la division par 3 soit 1 ( plus facile si on connaît les congruences, mais rien empêche de faire le calcul ).
Or ce cas x = 1 ne fonctionne pas non plus.
La seule valeur a priori possible ( x=1)  ne vérifiant pas l'équation, l'ensemble des solutions est vide.

Parfois, dans d'autres questions, on restreint ( analyse )le champ des possibles à quelques valeurs, il faut ensuite (synthèse ) vérifier lesquelles  vérifient de facto la question, car dans l'approche de départ on a seulement trouvé des conditions nécessaires.
Parfois on peut trouver tout un lot de candidats potentiels qui seront tous à rejeter.

Bon courage,
Alain

Hors ligne

#8 19-09-2020 14:52:30

eomfe3112
Membre
Inscription : 17-09-2020
Messages : 3

Re : Justifier l'impossibilité d'une solution entière d'une équation -T-ale

Bonjour, merci de toutes vos réponses,

Je reviens vous voir car moi et une de mes camarades ne trouvons pas la même chose.
Après avoir fait un raisonnement pas l'absurde, posé l'équation: (x4 - 6x + 3) = 10/x et cherché tous les diviseurs de 10.

Elle utilise l'équation du début, soit x5 - 6x2 + 3x = 10 Puis remplace x par les diviseurs de 10 pour enfin prouver que les résultats ne sont pas égaux à 10.

Moi j'utilise l'équation (x4 - 6x + 3 )= 10/x , Puis remplace x par les diviseurs de 10 pour cette fois ci prouver que les résultats ne sont pas égaux à 10/x.

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
quarantedeux moins quaranteet un
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums