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#1 18-09-2020 16:01:10

feuille
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Disjonction de propositions

Bonjour à tous.

Dans un exercice de mon cours, je dois montrer la disjonction de deux propositions.
Je sais que P ou Q est vraie si il y a au moins une des deux propositions vraie.

Voici l'énoncé :

       Montrer que ∀ x ∈ R, x² >= 4 ou -1 <= 3x + 5 <= 11

Pour moi, les deux propositions semblent fausses donc impossible de montrer P ou Q...

En effet, pour tout x réel, x² n'est pas supérieur ou égal à 4 (Ex : si x = 0, x² < 4).

Ensuite, pour tout x réel, 3x + 5 n'est pas compris entre -1 et 11 (Ex : si x = 5, 3*5 + 5 = 20).

Alors, pensez-vous qu'il y'a une erreur dans l'énoncé, ou n'ai-je pas compris correctement ?

Merci d'avance pour vos réponses.

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#2 18-09-2020 16:36:43

valoukanga
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Re : Disjonction de propositions

Bonjour ! Il s'agit de montrer que pour tout $x \in \mathbb R$, soit $P$, soit $Q$ (ou les deux) est vraie.

Ainsi, pour regarder cela, tu peux étudier chacune des proposition séparément : regarder pour quels $x$ $P$ est vraie, regarder pour quels $x$ $Q$ est vraie. Si, pour tout $x \in \mathbb R$, soit $P$, soit $Q$ est vraie, alors c'est réglé.

C'est plus clair ?

Dernière modification par valoukanga (18-09-2020 16:36:52)

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#3 18-09-2020 16:51:47

feuille
Membre
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Re : Disjonction de propositions

Merci de ta réponse.

Pour la première proposition :

      x² >= 4 si x >= 2 ou x >= -2 (donc, ce n'est pas vrai pour tout x réel non ?)

Ensuite, la deuxième :

   -1 <= 3x + 5 <= 11
   
   3x + 5 <= 11 pour x <= 2 et 3x + 5 >= -1 pour x >= -2
   
   (la aussi, ce n'est pas vrai pour tout x réel ? juste pour x compris entre -2 et 2 non ?)

J'ai bien compris que pour montrer P ou Q vraie, il faut montrer qu'au moins une des deux est vraie.
Mais là, j'ai l'impression que les deux sont fausses.

Dernière modification par feuille (18-09-2020 16:53:20)

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#4 18-09-2020 21:53:14

valoukanga
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Re : Disjonction de propositions

Re,

Alors pour la première, c'est presque ça : elle est vraie pour tout $x \geq 2$ et $x \leq 2$, attention. Pour $Q$, c'est bon, elle est vraie pour $x \in [-2,2]$.

Ainsi : pour tout $x \in \mathbb R$, soit $x \in ]-\infty, -2]\cup[2,+\infty[$, et dans ce cas-là, $x$ rend $P$ vraie, ou alors $x \in [-2,2]$, et dans ce cas là, $x$ rend $Q$ vraie.

Ainsi : pour tout $x \in \mathbb R$, soit $P$ soit $Q$ est vraie, donc $P$ ou $Q$ est vraie.

Est-ce que tu vois mieux ?

Dernière modification par valoukanga (18-09-2020 21:53:33)

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#5 19-09-2020 12:58:31

feuille
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Messages : 4

Re : Disjonction de propositions

Effectivement, je me suis trompé P est bien vraie pour tout x >=2 et x <= -2 donc pour x appartenant à [-∞ ; -2] U [2; +∞]

Q est vraie pour tout x appartenant à [-2; 2]

Mais ce que je ne comprends pas, c'est que P est vraie uniquement pour tout x appartenant à ]−∞,−2] ∪ [2,+∞[
et Q est vraie pour tout x de [-2; 2]. Et dans l'énoncé, on me demande de montrer P ou Q, pour tout x réel (i.e ]−∞; +∞[, or
]−∞,−2] ∪ [2,+∞[  ≠ ℝ et [-2; 2] ≠ ℝ

Qu'on soit d'accord :

   L'énoncé "Montrer que ∀ x ∈ R, x² >= 4 ou -1 <= 3x + 5 <= 11" signifie-t-il bien
   "Montrer que pour tout x du domaine des réels, x² >= 4 ou -1 <= 3x+5 <= 11 est vraie." ?

Dernière modification par feuille (19-09-2020 13:14:39)

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#6 19-09-2020 13:04:05

valoukanga
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Messages : 150

Re : Disjonction de propositions

Ta dernière traduction de l'énoncé est correcte. C'est la traduction mathématique qui te pose problème, malgré mes explications. Je vais essayer de mettre un peu de rigueur, en espérant que cela t'aide.

Notons $\mathcal P$ l'ensemble des $x \in \mathbb R$ tels que $P$ soit vraie, et $\mathcal Q$ l'ensemble des $x \in \mathbb R$ tels que $Q$ soit vraie.

Alors, par définition : pour tout $x \in \mathbb R$, $P$ ou $Q$ est vraie si et seulement si ($P$ est vraie ou $Q$ est vraie) pour tout $x$ réel. Autrement dit, si je prends un $x \in \mathbb R$, il vérifie SOIT $P$, SOIT $Q$ (et non les deux simultanément - il peut, mais ce n'est pas obligatoire). Ainsi, $x$ doit être dans $\mathcal P$, ou dans $\mathcal Q$. Autrement dit, $x \in \mathcal P \cup \mathcal Q$.

Ici, on a $\mathcal P = ]-\infty, -2[ \cup [2,+\infty[$ et $\mathcal Q = [-2,2]$, donc : $\mathcal P \cup \mathcal Q = \mathbb R$. Ainsi, pour tout $x \in \mathbb R$, $x \in \mathcal P \cup \mathcal Q = \mathbb R$, donc ($P$ ou $Q$) est vraie pour tout $x$ réel. 

Est-ce plus clair ?

Dernière modification par valoukanga (19-09-2020 13:04:30)

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#7 19-09-2020 13:08:03

feuille
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Messages : 4

Re : Disjonction de propositions

Effectivement, P U Q = R

J'avais pas du tout pensé à ça. Merci, c'est beaucoup plus clair.

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#8 19-09-2020 13:08:55

valoukanga
Membre
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Messages : 150

Re : Disjonction de propositions

Ravi d'avoir pu t'aider, n'hésite pas à revenir si tu as besoin d'un autre coup de main !

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