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#1 05-08-2020 21:31:49

kamilia
Invité

Convergence partout d'une suite complexe

Salut, Si $(u_n)_n$ est une suite de nombres réels, telle que $e^{iu_nx}$ converge sur un ensemble $E$ tel que $\lambda(E)>0.$

Prouver alors $\forall x \in \mathbb{R},e^{ixu_n}$ converge.

S'il vous plait, avez-vous des idees pour commencer?

Merci.

#2 29-08-2020 13:19:58

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 407

Re : Convergence partout d'une suite complexe

Bonjour,
Je pense qu'on doit pouvoir montrer que $E$ contient nécessairement un intervalle $[a;b]$.
Donc en supposant que l'on ait montré ceci, il suffit de remarquer que :
pour tout $x \in \mathbb{R}$, il existe $x_0 \in [0;1]$ et $n \in  \mathbb{Z}$ tel que $x = m.x_0$.
Il existe alors un polynôme $P \in \mathbb{R}[X,Y]$ tel que $cos(x.u_n) = P(cos(x_0.u_n),sin(x_0.u_n))$.
Et après on prend $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x_0 + k \in [a;b]$, et on ré-aplique la même technique :
il existe $Q \in \mathbb{R}[X,Y]$ tel que $cos(x_0.u_n) = Q(cos((x_0+k).u_n),sin((x_0+k).u_n))$.
Et on fait la même chose avec sinus, et on compose les polynômes obtenues pour former un nouveau polynôme à deux variables, qui sera continue (les polynômes sont continues) et on applique alors la continuité séquentielle.

En espérant n'intervenir pas trop tard...

Hors ligne

#3 Aujourd'hui 04:52:34

Thomas M
Invité

Re : Convergence partout d'une suite complexe

Je n'ai pas encore la réponse, même si elle doit se baser sur quelque chose de similaire à ce qui est proposé. Néanmoins, la première partie de la réponse est fausse: sur [0,1] E = R\Q  est de mesure 1 mais ne contient aucun intervalle.

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