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#1 16-09-2020 20:35:54

azer1957
Invité

exercice logique premiere sc maths

bonjour
priere de me donner un coup de pouce pour résoudre cet exercice:
montrer que l'équation [tex] $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=30[/tex] n admet pas de solution entieres
j ai donc procédé ainsi :
après devellopement et simplification j ai trouvé [tex] $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=xy^2-x^2y+yz^2-y^2z+zx^2-z^2x$[/tex]
[tex]$=xy^2-x^2y-xyz+yz^2-y^2z-xyz+zx^2-z^2x-xyz +3xyz$[/tex]
[tex]$=xy(y-x-z)+yz(z-y-x)+zx(x-z-y) +3xyz$[/tex]
mais cela me donne pas une factorisation du coté gauchede l équation33

merci pour votre aide

cordialement Mrini

#2 Hier 06:47:08

Matou
Invité

Re : exercice logique premiere sc maths

Bonjour,

Tu sembles maîtriser les bases de la manipulation des équations. En particulier, tu as compris qu'il faut factoriser ton expression.

Une astuce utile est de poser $z-x=-(y-z)-(x-y)$. Tu développes uniquement $-((y-z) +(x-y))^3=(y-z)^3...$.
Ensuite, factoriser ton expression en conservant les termes de la forme $(x-y) $...

Matou

#3 Hier 09:20:21

azer1957
Invité

Re : exercice logique premiere sc maths

bonjour
une bonne idée Matou merci
[tex]z-x=-(y-z)-(x-y)[/tex] donc [tex]-[(y-z)+(x-y)]^3=(z-x)^3([/tex]
soit après dévellopement et  simplification :
[tex](y-z)(x-y)(x-z)=-10[/tex] (*)
[tex]D_{10}={1;-1;2;-2;5;-5;10;-10}[/tex]
on vérifie bien pour quelques cas de systemes qu ils n ont pas de solutions
mais il ya 30 systemes (si je me suis pas trompé)
y a t il une methode pour prouver que (*) n admet pas de solutions entieres ?
encore une autre fois merci Matou pour votre aide
cordialement Mrini

#4 Hier 14:17:46

Matou
Invité

Re : exercice logique premiere sc maths

Bonjour,

Je suis content de voir que tu as compris ce que j'ai dit malgré une faute de signe, au moins. ;-((

Première possibilité :
Je ne pense pas qu'il y ait autant de cas à considérer que ce que tu dis.
En effet, on est d'accord que $(x-y)$, $(y-z)$ et $(z-x)$ jouent des rôles symétriques. Il suffit d'écrire $(x-y) \cdot(y-z) \cdot (z-x) = 10$ pour s'en convaincre.
Donc, au maximum, il n'y a que quatre cas à considérer :
$(x-y) = 1$
$(y-z) = 2$
$(z-x) = 5$
qui n'admet pas de solution.
En raison de la remarque précédente, tu comprends pourquoi ce n'est pas la peine de regarder, par exemple :
$(x-y) = 2$
$(y-z) = 1$
$(z-x) = 5$
puisque c'est fondamentalement le même système.

Ensuite tu peux regarder les trois autres possibilités obtenues avec $\{-1, -2, 5\}$, $\{-1, 2, -5\}$ et $\{1, -2, -5\}$ comme second membre.

Deuxième possibilité, si tu connais la théorie des systèmes linéaires d'équations :
C'est plus élégant à mon avis...
nous pouvons écrire les systèmes sous la forme générique :
[tex]\begin{align}
(\ 1) \cdot x + (-1) \cdot y + (0) \cdot z &= \alpha\\
(0) \cdot x + (1)\cdot y + (-1) \cdot z &= \beta\\
(-1) \cdot x + (0) \cdot y + (1) \cdot z &= \gamma
\end{align}
[/tex]
Le déterminant de ce système est nul et donc, il n'y a jamais de solution si le second membre n'est pas nul.

#5 Hier 16:10:19

azer1957
Invité

Re : exercice logique premiere sc maths

bonjour
Merci Matou c est surtout la deuxième méthode qui est simple et élégante comme vous avez dit
je peux marquer comme etant réglé ce problème
cordialement   Mrini97

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