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#1 12-09-2020 11:14:10

Mloves
Membre
Inscription : 07-09-2020
Messages : 5

dénombrement ensemble

Bonjour,

Je bloque sur une question qui me demande de montrer qu'un ensemble est fini.
J'ai essayez de majorer le cardinal de l'ensemble mais je n'aboutit à rien.
Donc je pense qu'il faut que je trouve une bijection afin de pouvoir calculer directement le cardinal, mais je n'arrive pas à la trouver.

L'ensemble est celui ci: {(a1, a2,...., an)∈N^n, ∑ai=b} (c'est la somme allant de 1 à n)
avec n>0 et b entier positif.

Si vous pouviez me donner une piste, Merci beaucoup

Dernière modification par Mloves (12-09-2020 11:15:48)

Hors ligne

#2 12-09-2020 16:56:07

Matou
Invité

Re : dénombrement ensemble

Bonjour,

Tu peux par exemple te demander si $a_1$ peut être supérieur à $b$.

Idem pour $a_2$...

Cordialement

Matou

#3 12-09-2020 20:34:09

Mloves
Membre
Inscription : 07-09-2020
Messages : 5

Re : dénombrement ensemble

Matou a écrit :

Bonjour,

Tu peux par exemple te demander si $a_1$ peut être supérieur à $b$.

Idem pour $a_2$...

Cordialement

Matou


Bonsoir,
Merci pour votre réponse.
Finalement j'ai montré que l'ensemble est une partie de N non vide, j'ai montré qu'il y a un majorant, et puisque que c'est une partie de N majorée l'ensemble est finie.
J'espère que cela est juste

:))

Hors ligne

#4 12-09-2020 22:52:32

Matou
Invité

Re : dénombrement ensemble

Bonsoir,

Attention, l'ensemble en question n'est pas une partie de N, mais un sous ensemble de N^n

#5 14-09-2020 09:16:25

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 19

Re : dénombrement ensemble

Bonjour,

Plusieurs approches:
1/L'ensemble des n-uplets cherché est forcément inclus dans [ 0 , b ] x ... x [ 0 , b ] (ensemble fini ) puisque aucune composante ne doit dépasser b. Donc il est fini.

2/On peut procéder par récurrence sur n. [ P(n) <=> pour tout b, l'ensemble des n-uplets de somme b est fini ]
Alors on a bien P(0), et  le cardinal au rang n+1 est la somme des cardinaux des n-uplets de somme 0, de somme 1, ... de somme b puisque
la n+1 composante peut valoir b , b-1 , ... 0.

3/On peut procéder par récurrence sur b, à n fixé quelconque ( à chaque rang, on se ramène au rang inférieur en ôtant 1 à une composante , faisant diminuer la somme b de 1, et on applique l'hypothèse de récurrence).


Cordialement,
Alain

En ligne

#6 14-09-2020 14:58:07

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 19

Re : dénombrement ensemble

Rebonjour,

Plus rapidement on on peut considérer l'ordre lexicographique, ce qui revient à l'ordre total pour ordonner les nombres dans leur représentation décimale ( par exemple ), en fait l'ordre induit sur un ensemble plus petit.
La chaîne obtenue est forcément finie.
Par exemple pour b = 5 et n = 4 c'est la chaine 5 < 14  < .... < 4100 < 5000 des entiers sur 4 chiffres entre 5 et 5000 dont la somme des chiffres vaut 5.
C'est la même chaîne que ( 0 0 0 5 ) < ( 0 0 14 ) < ( 0 0 2 3 )  < etc. En rajoutant des 0 adéquats.

L'ensemble des entiers entre b et b 0 0 ... 0 0 0  étant finis, a fortiori ceux dont la somme des digits vaut b aussi.
On a plongé dans un ensemble moins gros que Nx....xN tout de même.

Cordialement,
Alain

En ligne

#7 14-09-2020 15:02:58

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 19

Re : dénombrement ensemble

Bonjour,

Bien-sûr si b dépasse 9, on se place en base b, ce qui ne change rien à l'affaire.
SInon coquille, au lieu de N x N x... xN lire bien-sûr [ 0 , b ] x ... x [ 0 , b ] dans mon précédent message

En ligne

#8 14-09-2020 17:16:02

Mloves
Membre
Inscription : 07-09-2020
Messages : 5

Re : dénombrement ensemble

Bonjour,

Merci énormément pour vos réponse, je n'avais pas pensé à procéder par récurrence comme ceci.

Bonne fin de journée.
:)

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