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#1 14-09-2020 09:26:17

BERTHELOT
Invité

Dm maths série alternée

Bonjour, j'ai un exercice sur lequel je bloque. J'arrive bien a montrer que la série est convergente mais je n'arrive pas à trouver l'encadrement de la limite de Sn. Pouvez vous m'aider?   
Merci d'avance.
Alexis

https://ibb.co/yQRBzn6

Dernière modification par yoshi (14-09-2020 09:30:40)

#2 14-09-2020 10:40:16

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 184

Re : Dm maths série alternée

Bonjour,

Application directe du théorème de Leibniz.

On peut montrer que la série est alternée, que |U(n+1)|/|U(n)| < 1 et que lim(n--> +oo) U(n) = 0

On peut alors conclure (Théorème de Leibniz), que la série converge et a le signe de son 1er terme et que l'erreur faite en négligeant les termes à partir d'un certain rang a le signe du 1er terme négligé et sa valeur absolue et est <= à celle du 1er terme négligé.

U(0) = (1-x)
U(1) = -(1 - x^(p+1))/(p+1) < 0 (puisque x dans [0 ; 1[

Et donc, en s'arrêtant au 1er terme (U(0) = (1-x), le second terme est < 0 et par Leibniz, on a directement Somme(de0à+oo) Un(x) <= 1-x

Pour l'autre partie ... on fait la même chose mais en s'arrêtant au 2ème terme (U(0) + U(1)) et en montrant que le 1er négligé (donc U(2)) est > 0

Et on arrive alors directement à (p - (p+1)x + x^(p+1))/(p+1) <= Somme(de0à+oo) Un(x)

Hors ligne

#3 14-09-2020 14:26:00

BERTHELOT
Invité

Re : Dm maths série alternée

Bonjour,
merci pour votre aide.
Que voulez vous dire par la série a le signe de son premier terme?

#4 14-09-2020 16:13:26

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 184

Re : Dm maths série alternée

BERTHELOT a écrit :

Bonjour,
merci pour votre aide.
Que voulez vous dire par la série a le signe de son premier terme?

Bonjour,

Cela veut dire que si U(0) > 0, alors Somme (de n = 0 jusque +oo) U(n) > 0
et  si U(0) < 0, alors Somme (de n = 0 jusque +oo) U(n) < 0

... si, bien entendu, on est dans le cas d'une série obéissant aux critères mentionnés, soit :

Suite alternée et |U(n+1)|/|U(n)| < 1 et que lim(n--> +oo) U(n) = 0

Hors ligne

#5 14-09-2020 16:17:02

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 184

Re : Dm maths série alternée

Rebonjour,

Complément à ma réponse.

Le théorème de Leibnitz est rappelé dans ce lien :

https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_altern%C3%A9e

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