Dérivation d'une fonction complexe

EduDiament66 · 08-09-2020 21:34:45

Bonjour je cherche à dériver la fonction :

[tex]x(sqrt(abs(1-x^2))/(1+x^2)[/tex]

Merci de vos réponses

Roro · 08-09-2020 22:03:27

Bonsoir,

Qu'as-tu essayé ? Qu'as-tu trouvé ?

En réalité, qu'est ce qui te pose problème :

Tu sais dériver un produit ? un quotient ? tu sais aussi dériver $\sqrt{f(x)}$ ?

Si tu as un soucis avec $|1-x^2|$, il faut distinguer les cas $x\neq \pm 1$ et les cas particuliers $x=\pm 1$. Pour ces derniers cas, il sera sans doute utile de revenir à la définition de la dérivée (limite d'un taux d'accroissement).

Roro.

Dernière modification par Roro (08-09-2020 22:49:27)

EduDiament66 · 08-09-2020 22:38:37

Oui je sais faire tout cela mais je ne sais pas par où commencer, comme il s'agit de dériver une composition de fonction.
Faut-il développer afin d'obtenir une forme uxb où u=x/(1+x^2)
Voila ou j'en suis.

Roro · 08-09-2020 22:48:33

Re,

Oui, tu peux effectivement écrire $F(x) = \displaystyle \frac{x\sqrt{|1-x^2|}}{1+x²} = a(x) b(x)$ avec $\displaystyle a(x)=\frac{x}{1+x²}$ et $\displaystyle b(x)=\sqrt{|1-x^2|}$.

Tu remarques alors qu'en dehors des cas $x=\pm 1$, les fonctions $a$ et $b$ sont dérivables.

Sais-tu mener le calcul par exemple lorsque $-1<x<1$ (ce qui signifie que $|1-x²|=1-x²$) ?

Roro.

Dernière modification par Roro (08-09-2020 22:50:09)

EduDiament66 · 08-09-2020 22:56:37

Non je ne vois malheureusement pas... ^^'

Roro · 08-09-2020 23:05:04

La dérivée de $F = ab$ est $F'=a'b+ab'$.

Dans le cas qui nous intéresse (lorsque $-1<x<1$), on a
$$a'(x) = \frac{1-x²}{(1+x²)²} \qquad \text{et} \qquad b'(x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x²}}.$$

C'est la base de ton cours sur les dérivées (reprend les règles générales de dérivations : sommes, quotient, racine carrée, etc.).

Tu peux donc obtenir $F'$ dans ce cas.

Lorsque $x>1$ ou $x<-1$, il faut faire la même chose après avoir remarqué que $|1-x²|=x²-1$.

Roro.

EduDiament66 · 08-09-2020 23:06:23

Oh parfait, reste plus qu'à regrouper pour avoir la dérivée de ma fameuse fonction.

Merci!!!

Dernière modification par EduDiament66 (08-09-2020 23:09:51)

Roro · 08-09-2020 23:11:02

Exact. Reste aussi à savoir ce qui se passe lorsque $x=1$ et lorsque $x=-1$.

En ces points, la fonction $b$ n'est pas dérivable.

A mon avis, le plus simple est d'écrire (par exemple en $x=1$) le quotient $\frac{F(1+h)-F(1)}{h}$ et de regarder s'il y a une limite lorsque $h$ tend vers $0$.

Bon courage.
Roro.

EduDiament66 · 09-09-2020 18:44:53

Après calcul je trouve :

[tex]sqrt(abs(1-x^2))-(x^2)/(sqrt(1-x^2))[/tex]

Que faut il faire ensuite?

Roro · 09-09-2020 19:10:53

Ensuite ? Tu peux aller manger parce que ça va être l'heure...

Blague à part : est ce que tu as lu mes messages ? C'est toi qui dois savoir ce qu'il faut faire ! Quelle était la question initiale ?

Roro.

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