Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Sh15

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Probabilité sur un univers fini

Bonjour,

Voici l’énoncé :

À quelle(s) condition(s) sur les réels x et y existe-t-il une probabilité P sur l’ensemble à trois éléments Omega = {a,b,c} vérifiant P({a,b}) = x et P({b,c}) = y

Il est évident que x+y > 1 mais je n’ai pas trouvé de relation entre x et y pour avoir une meilleure condition. J’ai essayé d’exprimer les événements {a,b} et {b,c} en fonction de {b} mais rien n’a aboutit.

Pouvez-vous m’aider ?
Merci.

valoukanga

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Re : Probabilité sur un univers fini

Bonjour !

Une première idée pourrait être d'exprimer $P(\{b\})$ en fonction de $x$, $y$, $P(\{a\})$ et $P(\{c\})$, en utilisant le fait que $P(\{a,b\}) = P(\{a\}) + P(\{b\})$ (et idem pour $\{b,c\}$).

Ensuite, on peut remarquer que $P(\{a,b\})+P(\{b,c\})-P(\{b\}) = 1$ (je te laisse y réfléchir, mais c'est pas bien dur), et exprimer le membre de gauche en fonction de $x$ et $y$ pour en déduire des conditions sur $x$ et $y$.

Essaye de suivre cette piste, et reviens en nous montrant ce que tu as fait pour que l'on continue à t'aider.

freddy

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Re : Probabilité sur un univers fini

Salut,

Idéalement tu devais pouvoir donner les trois proba élémentaires selon x et y.

Dernière modification par freddy (15-08-2020 12:15:06)

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Sh15

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Re : Probabilité sur un univers fini

Bonjour,

Merci pour vos réponses.

J’ai trouvé : P({b}) = x - P({a}) = y - P({c})

P({a}) = 1-y
P({c}) = 1-x
Et donc P({b}) = x+y-1

Ainsi 1 =< x+y >= 2

valoukanga

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Re : Probabilité sur un univers fini

C'est ça, tu as compris ce que l'on voulait dire. Juste pour bien répondre à la question, il faut que tu donnes des conditions sur $x$ et $y$. Donc pour bien répondre, il faut dire qu'il est nécessaire et suffisant de prendre $x = 1 - P(\{c\})$ et $y = 1-P(\{a\})$.

freddy

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Re : Probabilité sur un univers fini

Bonjour,

Merci pour vos réponses.

J’ai trouvé : P({b}) = x - P({a}) = y - P({c})

P({a}) = 1-y
P({c}) = 1-x
Et donc P({b}) = x+y-1

Ainsi 1 =< x+y >= 2

Attention 1<= x+ y<= 2
Et x et y doivent être compris entre 0 et 1.

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

freddy

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Re : Probabilité sur un univers fini

C'est ça, tu as compris ce que l'on voulait dire. Juste pour bien répondre à la question, il faut que tu donnes des conditions sur $x$ et $y$. Donc pour bien répondre, il faut dire qu'il est nécessaire et suffisant de prendre $x = 1 - P(\{c\})$ et $y = 1-P(\{a\})$.

Salut,

Non, désolé, je ne suis pas d’accord : on ne sait rien sur les probabilités individuelles. Il suffit de préciser les conditions sur x, y, x+y puis de montrer comment on déduit les probabilités individuelles. C’est la daerniere condition la plus importante.

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Sh15

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Re : Probabilité sur un univers fini

J’ai compris. Merci pour vos réponses !

astro400

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Re : Probabilité sur un univers fini

Bonjour la  présentation la plus naturelle du raisonnement c'est de dire que si une telle probabilité existe alors on a P({a}) = 1-y
P({c}) = 1-x et P({b}) = x+y-1. Et réciproquement si x et y sont tels que  P({a}) ,P({b}) et P({c}) sont compris entre 0 et 1 (la somme égale à 1 est une conséquence des expressions) alors une telle probabilité existe. Ce qui te donne l'équivalence avec un système de 6 inéquations en x et y. Tu peux par exemple le résoudre en visualisant graphiquement le domaine des x,y admissibles en représentant dans le plan l' intersection des demi plan correspondant a chacune des 6 inéquations.

Dernière modification par astro400 (17-08-2020 11:16:52)