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#1 14-08-2020 17:36:14
- Sh15
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Probabilité sur un univers fini
Bonjour,
Voici l’énoncé :
À quelle(s) condition(s) sur les réels x et y existe-t-il une probabilité P sur l’ensemble à trois éléments Omega = {a,b,c} vérifiant P({a,b}) = x et P({b,c}) = y
Il est évident que x+y > 1 mais je n’ai pas trouvé de relation entre x et y pour avoir une meilleure condition. J’ai essayé d’exprimer les événements {a,b} et {b,c} en fonction de {b} mais rien n’a aboutit.
Pouvez-vous m’aider ?
Merci.
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#2 14-08-2020 17:59:38
- valoukanga
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Re : Probabilité sur un univers fini
Bonjour !
Une première idée pourrait être d'exprimer $P(\{b\})$ en fonction de $x$, $y$, $P(\{a\})$ et $P(\{c\})$, en utilisant le fait que $P(\{a,b\}) = P(\{a\}) + P(\{b\})$ (et idem pour $\{b,c\}$).
Ensuite, on peut remarquer que $P(\{a,b\})+P(\{b,c\})-P(\{b\}) = 1$ (je te laisse y réfléchir, mais c'est pas bien dur), et exprimer le membre de gauche en fonction de $x$ et $y$ pour en déduire des conditions sur $x$ et $y$.
Essaye de suivre cette piste, et reviens en nous montrant ce que tu as fait pour que l'on continue à t'aider.
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#3 15-08-2020 10:20:26
- freddy
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- Messages : 7 457
Re : Probabilité sur un univers fini
Salut,
Idéalement tu devais pouvoir donner les trois proba élémentaires selon x et y.
Dernière modification par freddy (15-08-2020 12:15:06)
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#4 16-08-2020 16:06:11
- Sh15
- Membre
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- Messages : 6
Re : Probabilité sur un univers fini
Bonjour,
Merci pour vos réponses.
J’ai trouvé : P({b}) = x - P({a}) = y - P({c})
P({a}) = 1-y
P({c}) = 1-x
Et donc P({b}) = x+y-1
Ainsi 1 =< x+y >= 2
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#5 16-08-2020 16:08:45
- valoukanga
- Membre
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- Messages : 196
Re : Probabilité sur un univers fini
C'est ça, tu as compris ce que l'on voulait dire. Juste pour bien répondre à la question, il faut que tu donnes des conditions sur $x$ et $y$. Donc pour bien répondre, il faut dire qu'il est nécessaire et suffisant de prendre $x = 1 - P(\{c\})$ et $y = 1-P(\{a\})$.
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#6 16-08-2020 17:15:51
- freddy
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Re : Probabilité sur un univers fini
Bonjour,
Merci pour vos réponses.
J’ai trouvé : P({b}) = x - P({a}) = y - P({c})
P({a}) = 1-y
P({c}) = 1-x
Et donc P({b}) = x+y-1Ainsi 1 =< x+y >= 2
Attention 1<= x+ y<= 2
Et x et y doivent être compris entre 0 et 1.
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#7 16-08-2020 17:21:33
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Probabilité sur un univers fini
C'est ça, tu as compris ce que l'on voulait dire. Juste pour bien répondre à la question, il faut que tu donnes des conditions sur $x$ et $y$. Donc pour bien répondre, il faut dire qu'il est nécessaire et suffisant de prendre $x = 1 - P(\{c\})$ et $y = 1-P(\{a\})$.
Salut,
Non, désolé, je ne suis pas d’accord : on ne sait rien sur les probabilités individuelles. Il suffit de préciser les conditions sur x, y, x+y puis de montrer comment on déduit les probabilités individuelles. C’est la daerniere condition la plus importante.
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#8 16-08-2020 20:19:29
- Sh15
- Membre
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- Messages : 6
Re : Probabilité sur un univers fini
J’ai compris. Merci pour vos réponses !
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#9 17-08-2020 11:13:52
- astro400
- Membre
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Re : Probabilité sur un univers fini
Bonjour la présentation la plus naturelle du raisonnement c'est de dire que si une telle probabilité existe alors on a P({a}) = 1-y
P({c}) = 1-x et P({b}) = x+y-1. Et réciproquement si x et y sont tels que P({a}) ,P({b}) et P({c}) sont compris entre 0 et 1 (la somme égale à 1 est une conséquence des expressions) alors une telle probabilité existe. Ce qui te donne l'équivalence avec un système de 6 inéquations en x et y. Tu peux par exemple le résoudre en visualisant graphiquement le domaine des x,y admissibles en représentant dans le plan l' intersection des demi plan correspondant a chacune des 6 inéquations.
Dernière modification par astro400 (17-08-2020 11:16:52)
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