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#1 09-08-2020 23:33:57

dylan261999
Membre
Inscription : 09-08-2020
Messages : 5

Probabilités - Tribus Boréliennes

[ tex] [ /tex]

Bonjour,

Je vais rentrer en septembre en deuxième année de cycle ingénieur et c'est pourquoi notre professeur de maths nous a donné du travail à faire sur le module de probabilité.
En effet, c'est un module assez lourd dans notre école qui m'oblige à venir vous solliciter afin de mieux comprendre.

Pour commencer, si [tex]\Omega[/tex] est notre ensemble des résultats possibles, je sais que [tex]P(\Omega) [/tex] est l'ensemble des parties de [tex]\Omega[/tex] mais quel est son sens physique ? Et quel en est son intérêt ?

J'ai vaguement compris la notion ci-dessus, c'est ce qui nous amène à la notion de tribu. Je sais que la tribu est inclue (une partie) dans [tex]P(\Omega)[/tex] et que c'est intéressent lorsque [tex]\Omega[/tex] est un nombre infini. On dit que [tex]F \subset P(\Omega)[/tex] est une tribu si :
    [tex]\Omega \in F [/tex]
    [tex]A \in F \Longrightarrow \bar{A} \in F [/tex]
    [tex]((\forall n \in \mathbb{N})  (A_n \in F)) \Longrightarrow \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n \in F [/tex]
   
Mais mon problème est que je ne comprends pas ce qu'est une tribu Borélienne, pouvez-vous imager cette notion ?

Je vous remercie par avance !
Cordialement,
Dylan

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#2 10-08-2020 07:54:17

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 127

Re : Probabilités - Tribus Boréliennes

Bonjour !

Pour donner un sens physique à $\mathcal P(\Omega)$, je ne sais pas trop quoi te dire, si ce n'est qu'on créé un nouvel ensemble contenant tous les sous-ensembles de $\Omega$. Pour ce qu'il est des intérêts de cette définition, j'en vois un directement avec la suite de ton message. Pour définir une tribu, tu as besoin d'un ensemble $F$ de parties de $\Omega$, ce que tu peux écrire très facilement $F \subset \mathcal P(\Omega)$. Sans avoir ce $\mathcal P(\Omega)$, ça devient plus compliqué.

Ensuite, la tribu borélienne sur $\Omega$ (il n'y en a qu'une seule), c'est la plus petite tribu contenant tous les ouverts de $\Omega$. Dans un $\Omega$ quelconque, on ne voit pas directement son intérêt. Mais si on se place dans $\mathbb R^n$, on peut montrer que la tribu borélienne est engendrée par les pavés, c'est-à-dire par les ensembles du type $[a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \times \cdots \times [a_n,b_n]$, qui sont - à mes yeux - les ensembles les plus simples de $\mathbb R^n$. En ce sens, la tribu borélienne est la plus "simple" possible. (La réponse que je t'ai proposé n'est pas très rigoureuse, mais je t'ai plutôt donné ce que moi je pense et j'utilise pour mettre au clair ce concept de tribu ! S'il y a des imprécisions, d'autres personnes de ce forum se feront un plaisir de me corriger !)

Dernière modification par valoukanga (10-08-2020 07:54:37)

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#3 12-08-2020 17:05:28

dylan261999
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Inscription : 09-08-2020
Messages : 5

Re : Probabilités - Tribus Boréliennes

Bonjour,

Je te remercie beaucoup Valoukanga ! Mais je ne comprends toujours pas... Désolé !

J'ai besoin d'un exemple concret. Si je prends l'expérience aléatoire consistant à mesurer la durée de vie d'un composant électronique (exemple assez classique dans mon milieu mais je ne sais pas si c'est le bon pour expliquer les tribus boréliennes).

On peut donc dire ici que notre ensemble $\Omega$ des résultats possibles est :
$$\Omega = \mathbb{R}^+$$

Comment définir ici ma tribu borélienne ?


Ou peut-être que quelqu'un a un meilleur exemple pour illustrer ?

Cordialement,
Dylan Chevalier

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#4 12-08-2020 21:00:12

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 127

Re : Probabilités - Tribus Boréliennes

Bonsoir !

En fait, il faut que tu dissocies vraiment l'histoire de tribu borélienne avec le contexte de probabilités. Je m'explique. Tu me dis "Comment définir ici ma tribu borélienne ?". En fait, dès que tu me donnes un $\Omega$ (ici $\mathbb R_+$), j'ai la tribu borélienne associée et c'est tout. Je n'ai aucunement besoin de contexte. Tu vois ce que je veux dire ? À la base, la tribu borélienne n'a aucun rapport avec les probabilités (à la base, évidemment).

Pour illustrer (même si c'est assez complexe), comme je te l'ai dit précédemment, la tribu borélienne de $\mathbb R_+$ ici est la plus petite tribu contenant tous les ouverts de $\mathbb R_+$. Comme je te l'ai également dit, cette tribu borélienne est engendrée par les ouverts de $\mathbb R_+$. Et quand on dit engendrée, c'est-à-dire en utilisant les propriétés de stabilité des tribus. Ainsi, je prends tous les ouverts de $\mathbb R_+$, je prends tous leurs complémentaires, je fais plein d'unions dénombrables dans tous les sens, et j'obtiens la tribu borélienne de $\mathbb R_+$.

Malheureusement, le concept de tribu borélienne est assez compliqué à illustrer. Est-ce-que tu vois un petit peu mieux ?

Dernière modification par valoukanga (12-08-2020 21:00:37)

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#5 15-08-2020 15:57:18

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
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Messages : 7 320

Re : Probabilités - Tribus Boréliennes

Salut,

Si je peux me permettre, je t’invite à chercher dans la bibm@th sous le thème « probabilité » « axiomatique de kolmogorov » et « Espace probabilsé. Fred a fait une très belle présentation pédagogique. Si tu veux aller plus loin, il faut faire un tour du côté de la théorie de la mesure pour bien appréhender ces boreliens qui, au fond, sont d’une manipulation naturelle en proba, comme l’explique Fred.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#6 15-08-2020 16:08:12

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 320

Re : Probabilités - Tribus Boréliennes

Re,

Si tu es sur la durée de vie de composants électronique, ton référentiel est R+ et ta tribu borélienne est celle générée par des segments de droite te permettant de calculer des intervalles de temps.
On doit ces travaux à Émile Borel.

Pour finir, il y a des lois continues assez simples (lois exponentielles par exemple) pour modéliser les durées de survie, tu devrais trouver là encore dans la bibm@th.
Pas très sympa de te jeter comme ça dans le bain sans avoir appris à nager ni sans brassard car tu verras que tu feras des calculs aussi naturellement que tu parles sans ne plus penser à tout ça.

Dernière modification par freddy (15-08-2020 16:17:16)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#7 15-08-2020 23:52:52

dylan261999
Membre
Inscription : 09-08-2020
Messages : 5

Re : Probabilités - Tribus Boréliennes

Merci, je vois mieux ce concept.

Je comprends bien que je me jette comme ça mais je n'ai pas trop le choix, notre professeur veut qu'on est bien bossé les trois premier chapitres de notre modules car il est assez lourd !

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#8 16-08-2020 06:36:31

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 320

Re : Probabilités - Tribus Boréliennes

Ok,

Reviens quand tu veux !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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