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#1 12-08-2020 07:41:10

Cédrix
Membre
Inscription : 15-08-2019
Messages : 29

valeur acquise et valeur actuelle

Bonjour,

On verse $n$ annuités constantes $a$ au taux annuel de $t\%$. La valeur acquise de ces $n$ annuités est : $V_n=a\times\dfrac{(1+i)^n-1}{i}$ où $i=\dfrac{t}{100}$.

On en déduit que, pour une valeur acquise $V_n$ d'une suite de n annuités constantes a, la valeur a de l'annuité est  $a=V_n\times\dfrac{i}{(1+i)^n-1}$.
Je comprends ce qui précède mais je ne comprends pas d'où sort la formule suivante :
la valeur actuelle VA d'une suite de n annuités constantes a est VA telle que $VA=a\times\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}$.

Pourriez-vous m'aider à savoir d'où sort cette dernière formule ?
Merci beaucoup,
C.

Dernière modification par Cédrix (12-08-2020 07:51:37)

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#2 12-08-2020 09:15:50

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 320

Re : valeur acquise et valeur actuelle

Salut,

je peux t'expliquer d'où vient la dernière formule, peux-tu m'expliquer d'où vient la première que tu nous donnes ?
En même temps, il faut que tu précises ton vocabulaire. Moi, je parle de valeur présente, et toi, de valeur acquise, ça mériterait un brin d'explication.

PS : je crois que j'ai compris. La valeur acquise est ce que j'aurais dans n versements de $a$ capitalisés au taux $i$. C'est donc une valeur future.
En finance, on s'intéresse surtout aux valeurs présentes car les transaction se font toutes sur la base de ce que ça vaut aujourd'hui, pas demain. Et donc on calcule ce que vaut, à un certain taux d'actualisation, la suite de $n$ versements de montant $a$. C'est la formule qui te pose question.

Dernière modification par freddy (12-08-2020 10:59:44)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#3 12-08-2020 11:49:00

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 15 013

Re : valeur acquise et valeur actuelle

RE,

https://intranet.escpeurope.eu/~bmt/diapos/Chap04.pdf
la formule est p.18

ou

https://intranet.escpeurope.eu/~bmt/diapos/Chap04.pdf

Quoi qu'il en soit, ces liens ne sont pas d'une clarté biblique et j'ai trop chaud pour creuser...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#4 12-08-2020 11:59:38

freddy
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Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 320

Re : valeur acquise et valeur actuelle

Re,

c'est le support d'un cours et il est très bien fait au plan pédagogique sauf que si on n'est pas un peu initié, ça peut sembler un peu compliqué. Idéalement, il faut écouter l'intervenant, mais je répète, la distinction VA et VF (valeur acquise) est très bien faite. C'est la base de la finance.
Si on veut aller au bout du bout sur l'actualisation, il faut travailler avec des courbes de taux zéro coupon :-)


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#5 13-08-2020 08:56:03

Cédrix
Membre
Inscription : 15-08-2019
Messages : 29

Re : valeur acquise et valeur actuelle

Merci, j'ai compris !
C.

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#6 13-08-2020 18:59:22

Cédrix
Membre
Inscription : 15-08-2019
Messages : 29

Re : valeur acquise et valeur actuelle

Bonjour,
j'aurais une nouvelle question.
Problème : Combien faut-il payer par mois pour rembourser un emprunt de 8000 euros sur 3 ans au taux annuel de 1,61%.
J'ai trouvé deux méthodes différentes qui ne donnent pas le même résultat.
Réponse 1 : en utilisant la dernière formule qui donne VA en fonction de a et en posant VA = 8000 ; i=0,0161 et n=3
on trouve a = 2752,99 ce qui donne par mois un montant de 229,42 euros (j'ai divisé le résultat précédent par 12).
Réponse 2 : toujours en utilisant la dernière formule qui donne VA en fonction de a mais en posant VA = 8000 ; i=0,0161:12 et n=36
on trouve directement a = 227,78 euros pour montant des mensualités à rembourser.
Quelle est donc la bonne méthode ?
Il semblerait que la Réponse 2 est celle qu'utilisent les Banques.
Merci de vos précisions/confirmations !
Bien cordialement,
C.

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#7 13-08-2020 21:23:53

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 320

Re : valeur acquise et valeur actuelle

Salut,

Il faut en effet tout adapter au caractère mensuel des échéances. Après, avec un peu de bon sens, on voit bien que la première solution est disproportionnée.


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#8 14-08-2020 17:13:57

Cédrix
Membre
Inscription : 15-08-2019
Messages : 29

Re : valeur acquise et valeur actuelle

Bonjour,
j'ai fait le calcul en prenant le taux mensuel équivalent et là je trouve des mensualités de 227,74 euros.
En théorie en effet, si je note iA le taux d'intérêt annuel et iM le taux mensuel équivalent, les taux doivent se correspondre avec une capitalisation mensuelle. Ainsi, une somme S placée au bout d'un an rapporte S(1+iA) par la première formule et S(1+iM)^12 par la seconde.

Par conséquent 1+iA=(1+iM)^12, d'où iM=(1+iA)^12−1.

Je pense que les banques utilisent la formule iA/12, qui est mathématiquement incorrecte car dans l'absolu si on souhaite rembourser par anticipation en cours d'année cela ne donne pas exactement les mêmes taux.

Notant i′M=iA/12 le taux employé par les banques, il est toutefois assez proche de iM, lorsque iA est petit (par exemple un taux immobilier actuel). Les banques l'utilisent sûrement pour deux raisons : la première est historique, une plus grande facilité de calcul, et aussi parce qu'on se fait (un peu) avoir, ce taux est (un peu) plus intéressant pour eux.

Est-ce correct ???
Merci !

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#9 15-08-2020 09:12:45

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 320

Re : valeur acquise et valeur actuelle

Salut,

Là on entre dans le maquis des conventions de calcul. Le taux d’intérêt est annuel et proportionnel. Quand c’est un taux équivalent, c’est précisé, comme par exemple pour l’épargne logement. Il y’a une longue liste de conventions de calculs applicables aux salles de marché et en fonction des devises, car un taux d’intérêt se fabrique selon lui aussi des conventions particulières.

Les banques font leur métier, très encadrées par les autorités de contrôles. S’il y a eu des abus il y a longtemps, C’est une chose de révolu. Le débat taux proportionnel/ taux équivalent se situé à un autre niveau, mais certes, le second est un poil plus lucratif que le premier. Le TAEG du crédit est là pour y mettre bon ordre.

Dernière modification par freddy (15-08-2020 09:39:54)


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