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#1 10-08-2020 15:36:48

Lilly
Membre
Inscription : 02-08-2020
Messages : 2

Continuité des applications linéaires

Salut,
J'ai cet exercice: Soient E et F deux espaces de banach et T:E->F application linéaire. On suppose que ∀ f ∈ F *(dual topologique de F),
la forme linéaire f o T :E->K est continue.
Je veux montrer que T est continue,jai essayé de faire la démonstration par l'absurde ,on suppose que T n'est pas continue et on prend une suite d'éléments de E (xn) tq
||xn||=1 et d'après Hann Banach ,il existe f ∈ F * tq ||f||=1=||xn||
Mais comment montrer que f oT n'est pas continue (on a
f o T est continue par hypothèse
||f o T||<||f|| ||T|| donc ||f o T ||<||T|| mais ce résultat ne montre pas l'absurde de la continuité de f o T)
J'ai besoin d'aide svp.

Hors ligne

#2 10-08-2020 22:04:24

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 644

Re : Continuité des applications linéaires

Bonjour,

  Tes hypothèses donnant que $E$ et $F$ sont des espaces de Banach orientent la recherche vers des résultats spécifiques aux espaces de Banach, par exemple le théorème de Banach-Steinhaus ou le théorème du graphe fermé. J'ai l'impression qu'on peut s'en sortir ici en utilisant le théorème du graphe fermé.

Considère une suite $(x_n,Tx_n)$ du graphe de $T$, qui converge vers $(x,y)\in E\times F$. Il suffit de démontrer que $y=Tx$ pour en déduire que le graphe de $T$ est fermé, et par suite que $T$ est continue.
Or, pour tout $f\in F^*$, $f\circ T$ est continue, donc $f\circ T x_n\to f\circ Tx$. On sait aussi que $f\circ Tx_n\to f(y)$. On a donc $f(y)=f\circ T(x)$, et puisque c'est vrai pour tout $f\in F^*$, on a $y=Tx$.

F.

Hors ligne

#3 11-08-2020 19:36:20

Lilly
Membre
Inscription : 02-08-2020
Messages : 2

Re : Continuité des applications linéaires

Merci beaucoup pour votre aide.

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