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#1 31-07-2020 20:30:19

RACHID Abdelouahed
Invité

Calcul d'une limite intégral

Bonjour  si possible de me donner une idée sur :
Question posée pour la préparation d'un concours :

Limite quand x tend vers 1 de :
{1/(x-1)}×intégral entre 1 et x de e^(-t^2)dt

Je vous suis reconnaissant
Merci beaucoup

#2 31-07-2020 20:52:25

kevlar
Membre
Inscription : 05-07-2020
Messages : 31

Re : Calcul d'une limite intégral

Bonjour

ça?

[tex]\underset {x\rightarrow 1^+}{\text {lim}} \dfrac {1}{x-1} \displaystyle \large \int _1^x e^{-t^2}dt[/tex]

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#3 31-07-2020 21:22:46

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 285

Re : Calcul d'une limite intégral

kevlar a écrit :

Bonjour

ça?

[tex]\underset {x\rightarrow 1^+}{\text {lim}} \dfrac {1}{x-1} \displaystyle \large \int _1^x e^{-t^2}dt[/tex]

Salut,

on dirait que oui. Si oui, la réponse est assez immédiate !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#4 31-07-2020 21:34:10

valoukanga
Membre
Inscription : 30-11-2019
Messages : 108

Re : Calcul d'une limite intégral

Bonjour !

Peut-être pour te guider, tu peux noter $F$ une primitive de $t \mapsto e^{-t^2}$ sur $[1,+\infty[$, et réécrire l'intégrale autrement, pour voir apparaître un cas de limite bien connu...

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#5 01-08-2020 08:39:33

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 177

Re : Calcul d'une limite intégral

Bonjour,

Ou bien s'apercevoir qu'on est dans le cas d'une indétermination du type 0/0 ... qui est levée immédiatement en appliquant la règle du génial marquis de Lhospital.

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#6 01-08-2020 09:23:07

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 285

Re : Calcul d'une limite intégral

Black Jack a écrit :

Bonjour,

Ou bien s'apercevoir qu'on est dans le cas d'une indétermination du type 0/0 ... qui est levée immédiatement en appliquant la règle du génial marquis de Lhospital.

Salut,

Tu as bien raison mais je crois que cette règle n’est plus enseignée depuis que les DL sont dans les programmes officiels. Quand on la connaît, on voit bien le lien avec les DL, toutefois, elle reste très efficace et d’un usage simple.
C’est bien dommage, mais il doit y avoir de bonnes raisons de l’avoir enterrée :-)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#7 01-08-2020 12:15:32

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 949

Re : Calcul d'une limite intégral

Re,

freddy a écrit :

Tu as bien raison mais je crois que cette règle n’est plus enseignée depuis que les DL sont dans les programmes officiels.

Exact.

J'ai déjà vu la raison, mais j'ai oubllié...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#8 01-08-2020 14:28:31

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 177

Re : Calcul d'une limite intégral

yoshi a écrit :

Re,

freddy a écrit :

Tu as bien raison mais je crois que cette règle n’est plus enseignée depuis que les DL sont dans les programmes officiels.

Exact.

J'ai déjà vu la raison, mais j'ai oubllié...

@+

Bonjour,

Ce sont toujours de mauvaises raisons.
La plus fréquente invoquée est que les étudiants l'appliquent souvent à mauvais escient parce qu'ils ne comprennent pas bien les cas où elle est applicable.

C'est de la foutaise, celui qui ne peut pas comprendre quand on peut employer cette règle n'est pas plus capable de comprendre que le DL qu'il utilise (par la méthode prônée aujourd'hui) est bien représentatif dans le cas d'application de la fonction.

L'enseignement perd de plus en plus de vue que dans le futur métier (hors enseignement) de ceux appelés à utiliser le calcul des limites (et tout le reste), on demande avant tout de l'efficacité (time is money) et que donc utiliser Lhospital dans les cas où il est plus rapide pour conduire à la solution est tout simplement un must.

Ce n'est que mon avis ... mais je le partage.  :)

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#9 01-08-2020 16:24:18

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 949

Re : Calcul d'une limite intégral

Salut jeunesse,

Trouvé sur Internet cet extrait d'un polycope

"La règle de l'Hospital ne donne pas plus de possibilités pour le calcul des limites que les développements limités, et elle a un champ d'application plus restreint (les formes 0/0).
Par contre, elle peut être d'un emploi plus facile. Par exemple, pour calculer $\lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{1+\cos x}{x−\pi}$ (forme indéterminée 0/0), on voit que $\lim\limits{x\to \pi}\dfrac{1- \sin x}{1}=0$, et on conclut que la limite cherchée est 0.
La règle de l'Hospital peut aussi servir en deux, voire en plusieurs coups :
si $\dfrac{f′(x)}{g′(x)}$ est aussi une forme indéterminée 0/0, on étudie  $\dfrac{f''(x)}{g''(x)}$.

Par exemple, pour obtenir $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\operatorname{ch} x−\cos x}{\ln(1+x)−\sin x}$, on étudie $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sh} x + \sin x}{(1+x)^{−1}−\cos x}$ qui est encore du type 0/0, et finalement $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{ch} x+\cos x}{−(1+x)^{−2}+\sin x}$ qui est −2.
Vous pouvez essayer avec les développements limités, pour comparer."

Mais ceci me paraît répondre plus précisément à la problématique :
http://www.les-mathematiques.net/phorum … 04,1484328

@+

Dernière modification par yoshi (01-08-2020 16:29:17)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#10 01-08-2020 17:28:43

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 177

Re : Calcul d'une limite intégral

Bonjour,

"La règle de l'Hospital ne donne pas plus de possibilités pour le calcul des limites que les développements limités, et elle a un champ d'application plus restreint (les formes 0/0).

Ce n'est pas tout à fait correct.

La règle peut être étendue aux indéterminations du type oo/oo (quels que soient les signes des "infinis").
Ce sont les cas de la Règle de Lhospital dite "généralisée".

Je ne dis pas que la méthode utilisant des DL n'est pas bonne, très loin s'en faut.

Simplement que dans beaucoup de cas (pas tous), Lhospital est plus rapide et très efficace et que se priver d'un outil performant sous de mauvais prétextes est une erreur... même si il existe des alternatives.

On peut trouver évidemment une multitude d'exemples où les DL sont plus efficaces, tout comme on peut trouver une multitude d'exemples où Lhospital est plus efficace.

Il faut utiliser l'outil le plus adéquat en fonction du problème posé... encore faut-il avoir appris à utiliser l'outil.

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#11 02-08-2020 15:37:45

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 285

Re : Calcul d'une limite intégral

Salut,

le pauvre : notre ami vient avec son problème, on lui dit qu'on connait la réponse sans la lui donner pour qu'il cherche et ... on ne peut savoir s'il a compris nos allusions.

Donc on cherche cette limite :
[tex]\underset {x\rightarrow 1^+}{\text {lim}} \dfrac {1}{x-1} \displaystyle \large \int _1^x e^{-t^2}dt[/tex]

On lui dit de convenir que  F est une primitive de $ t \rightarrow e^{-t^2}$, il a dû partir à sa recherche et on sait qu'il ne la trouvera pas ... mais il n'a pas vu ce qu'on lui proposait, à savoir de s’interroger sur cette limite :

[tex]\underset {x\rightarrow 1^+}{\text {lim}} \dfrac {F(x)-F(1)}{x-1}[/tex] et comprendre que sans avoir à chercher $F$, la réponse tombait comme un fruit mûr car ça ressemble furieusement à quelque chose de connu depuis la classe de première ou terminale.

A suivre !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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