Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
Discussion fermée
#1 29-07-2020 17:48:50
- kevlar
- Banni(e)
- Inscription : 05-07-2020
- Messages : 56
vp de ces matrices là
Bonjour;
Merci;
je cherche un moyen pour trouver les valeur propres de ces matrices
d'ordre [tex] n=m +1 [/tex]
avec [tex] m = 2^d - 1 [/tex] avec [tex] d\in \mathbb {N}-\{0,1\} [/tex]
je pense qu'il y a une astuce à trouver mais franchement je ne vois pas
[tex]\begin {pmatrix}w^{0\times 0} & w^{0\times 1} & \ldots & w^{0\times m} \\ w^{1\times 0} & w^{1\times 1} & \ldots & w^{1\times m} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ w^{m\times 0} & w^{m\times 1} & \ldots & w^{m\times m} \end {pmatrix}[/tex]
avec [tex] w = cos\left(\dfrac {2\pi }{n}\right) + i.sin\left(\dfrac {2\pi }{n}\right)[/tex]
je sais que :
[tex]\forall t\in \mathbb {N} , w^{-t} = \overline {w^t} [/tex] et [tex] w^t = w^{t-n\left\lfloor \dfrac {t}{n} \right\rfloor }[/tex]
je sais que:
[tex]\forall a\in \mathbb {N} , \forall b\in \mathbb {N} [/tex] [tex]w^{ab}=w^d[/tex] avec
[tex]d = c-n\left\lfloor \dfrac {c}{n} \right\rfloor [/tex] et [tex]c = \left(a-n\left\lfloor \dfrac {a}{n} \right\rfloor \right) \left(b-n\left\lfloor \dfrac {b}{n} \right\rfloor \right) [/tex]
et enfin je sais que :
[tex]\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1} w^{tk} = n [/tex] si [tex] t [/tex] est un multiple de [tex] n [/tex]
sinon cette somme vaut [tex] 0 [/tex]
Dernière modification par kevlar (29-07-2020 21:27:19)
Hors ligne
#2 29-07-2020 18:02:33
- valoukanga
- Membre
- Inscription : 30-11-2019
- Messages : 196
Re : vp de ces matrices là
Bonjour !
Juste au cas où, dans les coefficients de ta matrice en exposant, c'est bien une multiplication à chaque fois ? Et sinon ta matrice est d'ordre $m+1$ est non $m$ c'est bien le cas ?
Hors ligne
#3 29-07-2020 18:16:40
- kevlar
- Banni(e)
- Inscription : 05-07-2020
- Messages : 56
Re : vp de ces matrices là
bonjour Valoukanga
oui pardon elles sont d'ordre m+1
et oui le point . est la multiplication
Hors ligne
#4 29-07-2020 18:31:51
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 948
Re : vp de ces matrices là
Re,
Juste pour ta culture : en Latex le signe x c'est \times...
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
En ligne
#5 29-07-2020 21:27:53
- kevlar
- Banni(e)
- Inscription : 05-07-2020
- Messages : 56
Re : vp de ces matrices là
Merci Yoshi
j'ai corrigé avec le symbole approprié
Hors ligne
#6 30-07-2020 02:13:19
- kevlar
- Banni(e)
- Inscription : 05-07-2020
- Messages : 56
Re : vp de ces matrices là
J'ai trouvé quelques valeurs propres (mais pas toutes)
En tout cas [tex]\sqrt {n}[/tex] est toujours une valeur propre de ces matrices
par exemple pour n=16
j'en ai trouvé que quatre (mais à mon avis les valeurs propres de ces matrices sont toutes distinctes deux à deux donc il m'en manque)
[tex]\sqrt {16}[/tex]
[tex]-\sqrt {16}[/tex]
[tex]i \sqrt {16}[/tex]
[tex]-i \sqrt {16}[/tex]
pour n=8 il y a un moyen de savoir si elles sont toutes distinctes ou pas vu que j'en ai déjà quatre ... on verra
Dernière modification par kevlar (30-07-2020 02:36:37)
Hors ligne
#7 30-07-2020 11:59:41
- valoukanga
- Membre
- Inscription : 30-11-2019
- Messages : 196
Re : vp de ces matrices là
Re,
J'ai regardé le cas $n=4$ (enfin plutôt demandé à WolframAlpha de me sortir les valeurs propres) et on a : $-2$, $-2i$, et $2$ de multiplicité $2$ (sauf erreur de ma part).
J'ai aussi pas mal cherché sur Internet, et j'ai pas trouvé de réponse... Cette matrice, qui s'appelle la matrice de Vandermonde-Fourier, est bien particulière, et j'ai trouvé uniquement son inverse sur Internet, mais rien sur ces valeurs propres.
Peut-être que quelqu'un de bien calé ici pourra t'aider !
Dernière modification par valoukanga (30-07-2020 11:59:51)
Hors ligne
#8 30-07-2020 12:30:57
- kevlar
- Banni(e)
- Inscription : 05-07-2020
- Messages : 56
Re : vp de ces matrices là
Merci Valoukanga
ah donc mince!
sur mon cahier je les ai appelées matrices de Moivre (il fallait que je trouve un nom et vu que pour les propriétés il y a quelques théorèmes de Moivre en jeu j'ai pensé lui)
il faut que je refasse quelques feuilles avec le nom correct
Hors ligne
#9 30-07-2020 12:43:50
- kevlar
- Banni(e)
- Inscription : 05-07-2020
- Messages : 56
Re : vp de ces matrices là
je viens de revérifier pour n=4
je trouve 2i est une valeur propre (Wolfram s'est-il trompé en comptant la valeur propre 2 comme double ?)
Hors ligne
#10 30-07-2020 12:50:45
- valoukanga
- Membre
- Inscription : 30-11-2019
- Messages : 196
Re : vp de ces matrices là
Ok ça me rassure que tu trouves $2i$ comme valeur propre, c'est beaucoup plus cohérent.
Hors ligne
#11 30-07-2020 16:59:29
- astro400
- Membre
- Inscription : 21-12-2016
- Messages : 18
Re : vp de ces matrices là
Bonjour pour n=4 je trouve comme valeurs propres uniquement 2,-2 et 2i avec 2 qui est bien un espace propre de dimension 2 puisque (2,1,0,1) et (1,0,1,0) engendrent E2. Pas de -2i !
Hors ligne
#12 30-07-2020 17:16:37
- kevlar
- Banni(e)
- Inscription : 05-07-2020
- Messages : 56
Re : vp de ces matrices là
Bonjour Astro
je ne sais pas comment je me suis débrouillé tout à l'heure car j'avais revérifié et maintenant en vérifiant à nouveau -2i n'est pas bon
je vais reprendre ça à froid
Hors ligne
#13 30-07-2020 17:17:05
- valoukanga
- Membre
- Inscription : 30-11-2019
- Messages : 196
Re : vp de ces matrices là
Ah, donc WolframAlpha avait bien raison !
C'est un peu étrange comme résultat alors...
Hors ligne
#14 30-07-2020 17:47:20
- astro400
- Membre
- Inscription : 21-12-2016
- Messages : 18
Re : vp de ces matrices là
j ai continué plus loin, là avec Mathematica
Pour n=8 les valeurs propres sont -2 Sqrt[2], -2Sqrt[2]i, 2 Sqrt[2]i et 2 Sqrt[2] avec les multiplicités respectives 2,1,2 et 3.
Pour n= 16 les valeurs propres sont -4,-4i, 4i,4 avec les multiplicités respectives 4,3,4 et 5
On peut donc raisonnablement conjecturer que pour n quelconque les seuls valeur propres sont parmi -Sqrt[n], - Sqrt[n]i, Sqrt[n]i et Sqrt[n]
avec les multiplicités respectives n/4,n/4-1,n/4, et n/4+1.
Le cas n=4 rentrant aussi dans ce cas .
Connaissant le polynôme caractéristique probable on pourrait peut etre vérifier si il est annulateur?
Dernière modification par astro400 (30-07-2020 17:59:27)
Hors ligne
#15 30-07-2020 17:58:03
- astro400
- Membre
- Inscription : 21-12-2016
- Messages : 18
Re : vp de ces matrices là
il fallait lire sont parmi -Sqrt[n], - Sqrt[n]i, Sqrt[n]i et Sqrt[n] bien sur.
J ai pu tester la conjecture pour n=32 ça marche toujours!
Hors ligne
#16 30-07-2020 18:23:53
- kevlar
- Banni(e)
- Inscription : 05-07-2020
- Messages : 56
Re : vp de ces matrices là
pour n=4 il semble que la généralisation ne fonctionne pas
valeurs propres 2 , -2 , 2i mais pas -2i
je vais tout reprendre a zéro demain (il semble que je me suis planté quelque part)
Hors ligne
#17 30-07-2020 18:39:40
- astro400
- Membre
- Inscription : 21-12-2016
- Messages : 18
Re : vp de ces matrices là
j ai formulé volontairement "parmi ces 4 valeurs" , pour inclure le cas n=4. Pour n=4 la multiplicité serait n/4-1=1-1=0 donc -2i n'est pas valeur propre.
Dernière modification par astro400 (30-07-2020 18:51:30)
Hors ligne
#18 30-07-2020 18:57:03
- kevlar
- Banni(e)
- Inscription : 05-07-2020
- Messages : 56
Re : vp de ces matrices là
Merci Astro
effectivement j'ai mal lu
Hors ligne
#19 30-07-2020 20:46:18
- Maenwe-bis
- Invité
Re : vp de ces matrices là
Bonsoir,
Avez vous essayez de simplifiez la première ligne du polynôme caractéristique ?
Et après on développe selon la 1ere ligne et à mon avis on obtient une récurrence d'ordre 2 ou qielqie chose dans le genre.
#20 31-07-2020 07:18:04
- astro400
- Membre
- Inscription : 21-12-2016
- Messages : 18
Re : vp de ces matrices là
Bonjour, sachant que la matrice est définie lorsque $n$ est une puissance de 2 pas facile d'imaginer une démarche par récurrence. Il faudrait passer de $n$ à $2n$ en remplaçant $w=e^{i\theta}$ par $e^{i \theta /2}$.
Dernière modification par astro400 (31-07-2020 08:14:10)
Hors ligne
#21 31-07-2020 11:28:54
- kevlar
- Banni(e)
- Inscription : 05-07-2020
- Messages : 56
Re : vp de ces matrices là
Bonjour Astro
Je tente une démo de votre résultat (impressionnant car je n'espérais rien en ce qui concerne les multiplicités)
pour ce faire j'écris la matrice autrement car il y a des arguments qui se répètent
Hors ligne
#22 01-08-2020 10:56:31
- kevlar
- Banni(e)
- Inscription : 05-07-2020
- Messages : 56
Re : vp de ces matrices là
Astro j'en suis toujours pas revenu sur la manière dont vous avez trouvé les multiplicités
Je ne vous demande pas de trahir un secret mais j'avoue que je suis un peu curieux
Hors ligne
#23 01-08-2020 11:56:48
- astro400
- Membre
- Inscription : 21-12-2016
- Messages : 18
Re : vp de ces matrices là
Bonjour, C'est Mathematica qui a fait le gros du travail et un peu de bricolage . Notons $A$ ta matrice
Jusqu'à $n=8$ il fait le calcul tout seul en calcul formel.
Pour $n=16$ je lui ai demandé une approximation numérique $B$ de la matrice $A$ , je lui ai demandé les valeurs propres de $B$ qui sont très proches ( 10-16 près) de $\sqrt{n}$, $i\sqrt{n}$,$-i\sqrt{n}$ et $-\sqrt{n}$. J'ai donc supposé que les v.p. de $A$ étaient ces valeurs et c'était alors facile de trouver une base de vecteurs propres de A .
Ce qui facilite la recherche des vecteurs propres c'est que pour tout $n$ on a $A.(1,1....1)^t=(n,0,0....0)^t $ (par somme d une série géométrique sauf pour la première composante) et $A.(1,0....0)^t=(1,1,...,1)^t$.
La conjecture m'a parue alors évidente.
Pour n=32 même chose mais j'ai cherché numériquement les vecteurs propres car je ne les trouvais pas à la main.
Dernière modification par astro400 (01-08-2020 12:07:45)
Hors ligne
#24 02-08-2020 00:25:05
- kevlar
- Banni(e)
- Inscription : 05-07-2020
- Messages : 56
Re : vp de ces matrices là
Merci Astro pour le temps consacré à cela
Hors ligne
Pages : 1
Discussion fermée