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#1 29-07-2020 18:45:34

mathis75
Invité

Petits sujets sur les groupes

Bonjour, je débute sur les groupes et j'aurais quelques questions à vous poser de temps en temps...

1) Je pose $w_n = e^{i2\pi/n}$ et $A = \begin{pmatrix}
w_n & 0 \\
0 & w_n^{-1}
\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}$

Je note ensuite $G = <A,B>$. Je dois montrer que si n est impair, alors $card(G) = 4n$
Y a t-il un moyen simple?


Ma démarche (j'ai galéré donc je pense pas que ça soit aussi dur)
Je prends $H = U_2(C)$ l'ensemble des matrices unitaires
1) Je montre que <A> et <B> sont 2 sous groupes de G d'intersection $Id$ (ne marche que si n pair) de cardinaux n et 4
2) Je montre que <A> est distingué dans $H$ (je pense que c'est le cas?)
2) Dans ce cas $<A,B> = AB$ (vrai?) et $ card(AB) = card(A)card(B)/card(A \cap B) = 4n$ (théorème d'isomorphisme n°2)

Y a t-il plus simple?

#2 30-07-2020 10:29:30

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 635

Re : Petits sujets sur les groupes

Bonjour,

  Plus simple, je ne sais pas, mais plus élémentaire, sans doute :

1. Tu montres que le groupe contient au moins $4n$ éléments : les matrices
$$\begin{pmatrix}w_n^k&0\\0&w_n^{-k}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-w_n^k&0\\0&-w_n^{-k}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&w_n^k\\-w_n^{-k}&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&-w_n^k\\w_n^{-k}&0\end{pmatrix}$$
pour $k$ allant de $0$ à $n-1$ (tu utilises bien que $n$ est impair pour prouver que toutes ces matrices sont distinctes).

2. Vérifier à la main que l'ensemble des matrices précédentes est bien un groupe.

F.

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