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#1 28-07-2020 13:50:45

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 146

Majoration

Bonjour
soit $u(t,x)$ une fonction assez régulière continue et bornée sur $[0,\tau] \times \mathbb{R}^d$ et on pose $u(x,0)=u_0(x)$, où $u_0(x)$ est continue et bornée.
Ma question est: est-ce qu'il est possible de majorer $\sum_{i,j=1}^d\displaystyle\int_0^1 \dfrac{\partial^2 u(t,x)}{\partial x_i \partial x_j} (1-t^2) dt$ par $\sup_{|\alpha| \leq 2} |D^{\alpha} u_0(x)|$, où $D^{\alpha} u = \dfrac{\partial^{|\alpha| }u}{\partial_ {x_1}^{\alpha_1} .... \partial_{x_d}^{\alpha_d}}$
?

Cordialement

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#2 28-07-2020 15:58:13

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 869

Re : Majoration

Bonjour,

Ma réponse est : "non, sauf lorsque $d=1$".

Roro.

Dernière modification par Roro (28-07-2020 15:58:39)

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#3 28-07-2020 16:13:19

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 146

Re : Majoration

Est-ce qu'il y a une condition qui rendrait cette inégalité possible pour tout $d$? S'il vous plaît.
Aussi pourquoi vous dites que cela n'est pas possible pour $d > 1$?
Merci d'avance pour votre aide.

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#4 28-07-2020 17:24:24

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 869

Re : Majoration

Bonjour,

Ma réponse était volontairement non détaillée car tu as posé une question sans dire ce que tu avais essayé, si tu pensais que c'était vrai/faux, quel était le contexte, etc.

On est là pour t'aider mais il faut pour cela que tu nous aides.

Une indication : lorsque $d=2$, regarde ce qui se passe avec la fonction $\displaystyle u(t,x,y)=\frac{x²}{2}+xy+\frac{y²}{2}$ (pourquoi cette fonction ?).

Roro.

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#5 28-07-2020 17:55:34

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 146

Re : Majoration

Je n'ai pas di me contexte car il est long (un pdf de 8 pages). je ne trouve pas le moyen de l'ajouter ici.
Est-ce qu'il y a possibilité d'ajouter un pdf ici? S'il vous plaît

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#6 28-07-2020 19:11:41

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 14 949

Re : Majoration

RE,

Dépose-le sur https://www.cjoint.com, tu obtiendras un lien que tu copiers at colleras dans ton prochain post.

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#7 28-07-2020 19:54:58

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 146

Re : Majoration

Merci beaucoup Yoshi
alors mon problème est sur le lien suivant:

Je cherche à démontrer le théorème 1.1, et j'ai essayé d'écrire une démonstration à partir de la page 5, mais je ne suis pas sûre de la relation surlignée en jaune qui donne la dépendance par rapport aux dérivées de la donnée initiale $u_0$. J'y réfléchis depuis des semaine mais rien. J'espère avoir votre aide et je vous remercie d'avance.

Je veux juste savoir si l'inégalité en jaune (p6) est correcte sinon comment l'écrire.
Merci d'avance

Dernière modification par ccapucine (31-07-2020 09:21:51)

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#8 29-07-2020 07:13:45

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 869

Re : Majoration

Bonjour,

Merci pour le "contexte" mais je ne vais effectivement pas tout lire.
Seulement, lorsque je vois ce qu'il y a de sur-ligné, je me rends compte (sans surprise car à chaque fois que tu postes, il y a des imprécisions et on est obligé de réfléchir à ta place) que dans la majoration il y a un facteur $2d^2$. Ca change tout.

As-tu essayé de majorer naïvement tes dérivées secondes par $\displaystyle \sup_{x\in \mathbb R^d, |\alpha|\leq 2} |D^\alpha u|$ et de voir ce qu'il faut comme contrôle de la forme $\displaystyle \sup_{x\in \mathbb R^d, |\alpha|\leq 2} |D^\alpha u| \leq \text{Cte} \, \sup_{x\in \mathbb R^d, |\alpha|\leq 2} |D^\alpha u_0|$ pour obtenir ce que tu veux ?

Roro.

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#9 29-07-2020 09:58:50

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 146

Re : Majoration

Bonjour
désolée je pensais avoir bien résumé le contexte, ce n'était pas de la mauvaise volonté de ma part.
La réponse à votre question est oui j'ai essayé de faire ça mais je n'arrive pas à lier $D^{\alpha} u$ avec $D^{\alpha} u_0$ et c'est l'objet de ma question initiale. C'est ça ma difficulté.
Donc comment on peut majorer par $D^{\alpha} u_0$?

Cordialement

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#10 29-07-2020 18:27:45

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 869

Re : Majoration

Bonjour,

Si on ne sait rien de plus sur $u$, c'est effectivement impossible. Mais étant donné ton problème $u$ doit être une solution d'un problème particulier et tu as peut être un truc du style principe du maximum...

Roro.

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