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#1 16-07-2020 15:22:05

Glois
Invité

suite(variation)

Salut ,je serai reconnaissant de m'avoir aidé á resoudre cette question:
U etant une suite qui satisfait les conditions suivanted:
*Un+2  + Un  = 1/n
*U2 < U1
*Un est positif
Montrer que la suite U est decroissante.
J'ai raisonné par recurrence mais pour l'heredité j'ai calculé Un+2  -  Un+1 = Un+2 + Un - Un - Un+1 = 1/n  - Un - Un+1 et lá je me suis bloqué.

#2 17-07-2020 15:41:50

LCTD
Membre
Inscription : 21-11-2019
Messages : 37

Re : suite(variation)

bonjour,

J'ai peut-être une piste :


au rang n-2  Un -Un-2 = $\dfrac{1}{n-2}$ soit Un = $\dfrac{1}{n-2}$ + Un-2
au rang n-1 on a  Un+1 -Un-1 = $\dfrac{1}{n-1}$ soit Un+1 = $\dfrac{1}{n-1}$ + Un-1

$\dfrac{1}{n }$ -Un -Un+1 = $\dfrac{1}{n }$ -($\dfrac{1}{n-2}$ + Un-2)-($\dfrac{1}{n-1}$ + Un-1)

en remontant dans les indices, on peut trouver une formule

Hors ligne

#3 18-07-2020 15:02:31

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 177

Re : suite(variation)

Bonjour,

La suite décrite n'existe que pour 1 seule valeur de U2 ... me semble-t-il.

De U(n+2) + U(n) = 1/n --> U(n+2) = 1/n - U(n) 

U3 = 1 - U1 --> U1 < 1 (puisque il faut Un > 0)

U4 = 1/2 - U2 --> U2 < 1/2 puisqu'il faut U4 > 0 

U6 = 1/4 - U4 = 1/4 - ((1/2) - U2) --> U2 > 1/2 - 1/4 puisqu'il faut U6 > 0 

U8 = 1/6 - U6 = 1/6 - (1/4 - ((1/2) - U2)) --> U2 < 1/2 - 1/4 + 1/6 puisqu'il faut U8 > 0  (U2 < 5/12)

U10 = 1/8 - U8 = 1/8 - (1/6 - (1/4 - ((1/2) - U2))) = U2 > 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 puisqu'il faut U8 > 0 

Pour Un avec n = 4k (avec k dans N*), on voit qu'on doit avoir   U2 < 1/2 - 1/4 + 1/6 + ...

Pour Un avec n = 2 + 4k (avec k dans N*), on voit qu'on doit avoir   U2 > 1/2 - 1/4 + 1/6 + ...

Et comme la suite est infinie, le min et le max de U2 pour que la suite puisse exister dans les conditions de l'énoncé (tous les Un > 0) sont identiques.

Soit U2 = Somme(dek=1à+oo) [(-1)^(k+1)/(2k)]

Sauf erreur ... bien probable.

Attendre l'avis de vrais matheux (dont je ne fais pas partie).

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#4 19-07-2020 11:45:33

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 406

Re : suite(variation)

Bonjour,
ça me semble correcte, une petite récurrence astucieusement écrite et c'est bon... La valeur de $u_2$ est donc $\frac{ln(2)}{2}< \frac{1}{2}$.
Par contre c'est posté dans le forum Collège-Lycée, c'est un peu hors niveau ^^
ça devrait être possible d'exploiter ton idée et de la combiner avec la décroissance de $u_n$ pour donner un truc plus abordable pour un lycéen :)

Oups, aux temps pour moi je me suis embrouillé, il faut montré que $u_n$ est décroissante ^^

Dernière modification par Maenwe (19-07-2020 14:41:07)

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#5 19-07-2020 13:32:30

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 177

Re : suite(variation)

Bonjour.

Je poursuis ...

U3 = 1 - U1 --> U1 < 1

U5 = 1/3 - U3 = 1/3 - 1 + U1 --> U1 > 1 - 1/3 puisque il faut U5 > 0

U7 = 1/5 - U5 = 1/5 - 1/3 + 1 - U1 --> U1 < 1 - 1/3 + 1/5 puisque il faut U7 > 0

U9 = 1/7 - U7 = 1/7 - 1/5 + 1/3 - 1 + U1 --> U1 > 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7

...

Le min et le max de U1 sont les mêmes, soit 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

Donc la suite n'existe que pour une seule valeur de U1 qui est Somme de (k=0 à +oo) [(-1)^k*(1+2n)] = Pi/4

La suite n'existe donc que dans le cas particulier où U1 = Pi/4 et U2 = ln(2)/2

Sauf si je me trompe.

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#6 19-07-2020 16:42:21

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 177

Re : suite(variation)

Rebonjour,

De mes réponses précédentes, on trouve que la seule suite possible obéissant à l'énoncé, a ses termes égaux à :

U1 = Pi/4
U2 = ln(2)/2
U3 = 1 - Pi/4
U(4k) = - ln(2)/2 + 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 + ... + 1/(4k - 2)
U(4k+1) = Pi/4 - 1 + 1/3 - ... + 1/(4k-1)
U(4k+2) = ln(2)/2 - 1/2 + 1/4 - 1/6 + 1/8 + ... + 1/(4k) 
U(4k+3) = - Pi/4 + 1 - 1/3 + ... + 1/(4k+1)
(pour k dans N*)

On peut partir de là pour montrer quelle est décroissante..

Hors ligne

#7 20-07-2020 10:29:41

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 286

Re : suite(variation)

Salut et bravo,

en effet, de quelque manière qu'on s'y prenne, établir la monotonie de la suite conduit a en fabriquer tous les termes, et la recherche du signe de la différence $u_{n+1}-u_n$ conduit inévitablement à chercher les deux premiers termes de la suite, $u_1$ et $u_2$.
J'aurais bien aimé connaître le contexte du sujet, m'est avis que ce n'est pas vraiment du niveau du lycée, ou alors les gars y ont été sérieusement préparés en amont.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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