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#1 14-07-2020 14:22:37

test45
Invité

Etendre le théorème spectral à C

Bonjour,
Cela fait maintenant plusieurs jours qu'une question me torture le cerveau: pourquoi n'est-il pas possible d'étendre le théorème spectral dans C.
Je sais que de nombreux contre exemples répondent par le négative, mais je ne comprends pas pourquoi la démonstration appliquée à R n'est pas applicable à C.

Voici la démonstration dans R et le lien que je fais dans C:
Soit A un endomorphisme réel symétrique, B un endomorphisme complexe symétrique. J'entends par réel et complexe des espaces vectoriels réels et complexes

1) A a son polynôme caractéristique scindé sur R (résultat démontré)
B a son polynôme caractéristique scindé sur C (C est algébriquement clôt)

2) Donc A admet une valeur propre réelle et par suite une droite stable D
B admet aussi une valeur propre complexe et une droite stable associée D'

3) A est symétrique donc D admet un supplémentaire stable H
B est symétrique donc D' admet un supplémentaire stable H'

4)L'induit de A sur H est toujours réel et symétrique
L'induit de B sur H' est toujours complexe et symétrique

5)Par récurrence, on a montré le résultat dans R et dans C. Donc tout endomorphisme symétrique serait diagonalisable... où est l'erreur ?

Merici de votre réponse

#2 15-07-2020 10:29:21

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 406

Re : Etendre le théorème spectral à C

Bonjour,
Difficile de te dire pourquoi c'est faux car le théorème est vrai même dans le cas hermitien. Montre nous ces contre-exemples, on pourra peut-être te dire d'où vient la confusion.

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